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Questão 26 (CFS 1) da EEAR 2025

CFS 1 · Matemática: Equação da circunferência

– Se as circunferências de equações x^2 + (y - 1)^2 = 1 e x^2 + (y - 4)^2 = 9 são secantes, a ordenada dos pontos de intersecção entre elas é ______.

  1. A
    5/6
  2. B
    6/5
  3. C
    6/7
  4. D
    7/6
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Resolução comentada

Os pontos de intersecção satisfazem as duas equações ao mesmo tempo. Se subtrairmos uma equação da outra, o termo x^2 some e sobra uma equação só em y, que é a reta que contém os pontos comuns (eixo radical).

Primeiro, desenvolva as equações:

  1. x^2 + (y-1)^2 = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 - 2y + 1 = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 - 2y = 0
  2. x^2 + (y-4)^2 = 9 \Rightarrow x^2 + y^2 - 8y + 16 = 9 \Rightarrow x^2 + y^2 - 8y + 7 = 0

Subtraindo a primeira da segunda:

(-8y + 7) - (-2y) = 0 \Rightarrow -6y + 7 = 0 \Rightarrow y = \frac{7}{6}

Conferindo se de fato são secantes: os centros (0,1) e (0,4) estão a distância 3, e os raios são 1 e 3. Como 3-1 = 2 < 3 < 4 = 3+1, as circunferências se cortam em dois pontos. Na primeira equação, com y = 7/6: x^2 = 2y - y^2 = \frac{7}{3} - \frac{49}{36} = \frac{35}{36} > 0, então existem dois pontos reais, ambos com ordenada 7/6.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa C engana quem inverte a fração ao isolar y em 6y = 7.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem base em erro de conta coerente; não satisfaz -6y+7=0.
  • BNão resulta da subtração das equações; 6/5 não anula -6y+7.
  • CInverte numerador e denominador de 7/6.

Assunto: Equação da circunferência.

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Fonte: EEAR 2025 · CFS 1. Prova oficial ↗