PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 61 (CFS 1) da EEAR 2024

CFS 1 · Matemática: Números complexos

– Sejam os números complexos z_1 = 6 + 8\text{i} e z_2 = 12 + 5\text{i}. Se \rho_1 e \theta_1 são, respectivamente, o módulo e o argumento de z_1 e se \rho_2 e \theta_2, módulo e argumento de z_2, é correto afirmar que _______________ .

  1. A
    \rho_1 < \rho_2 e \theta_1 < \theta_2
  2. B
    \rho_1 < \rho_2 e \theta_1 > \theta_2
  3. C
    \rho_1 > \rho_2 e \theta_1 < \theta_2
  4. D
    \rho_1 > \rho_2 e \theta_1 > \theta_2
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Resolução comentada

O módulo de z = a + b\text{i} é \rho = \sqrt{a^2+b^2} e o argumento \theta (no primeiro quadrante) satisfaz \tg\,\theta = \dfrac{b}{a}.

  1. Módulos:
\rho_1 = \sqrt{6^2+8^2} = \sqrt{100} = 10
\rho_2 = \sqrt{12^2+5^2} = \sqrt{169} = 13

Logo \rho_1 < \rho_2.

  1. Argumentos: os dois números estão no 1º quadrante (parte real e imaginária positivas), então \theta está entre 0 e \dfrac{\pi}{2}, intervalo em que a tangente é crescente.
\tg\,\theta_1 = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \approx 1{,}33
\tg\,\theta_2 = \frac{5}{12} \approx 0{,}42

Como \tg\,\theta_1 > \tg\,\theta_2 e a tangente é crescente nesse intervalo, \theta_1 > \theta_2.

(Conferindo: \theta_1 \approx 53^\circ e \theta_2 \approx 23^\circ.)

Assim, \rho_1 < \rho_2 e \theta_1 > \theta_2.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Aacerta os módulos, mas supõe \theta_1<\theta_2, comparando só as partes reais ou imaginárias em vez das tangentes.
  • Cerra os dois: inverte a comparação dos módulos (10 < 13) e dos argumentos.
  • Dacerta os argumentos, mas inverte os módulos, pois \rho_1=10 é menor que \rho_2=13.

Assunto: Números complexos.

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Fonte: EEAR 2024 · CFS 1. Prova oficial ↗