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Questão 57 (CFS 2) da EEAR 2024

CFS 2 · Matemática: Função quadrática

– Considere a função f\colon \text{IR} \to \text{IR} tal que f(x) = x^2 - 6x + c. Então, o menor valor inteiro de c para que a função f assuma valores positivos para todo x real é c = ______ .

  1. A
    -20
  2. B
    -10
  3. C
    10
  4. D
    5
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Resolução comentada

Uma parábola com concavidade para cima (a = 1 > 0) só assume valores positivos para todo x real se não tocar nem cruzar o eixo x, ou seja, se não tiver raízes reais. Isso acontece quando o discriminante é negativo: \Delta < 0.

  1. Identifique os coeficientes: a = 1, b = -6 e c.
  2. Calcule o discriminante: \Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4\cdot 1\cdot c = 36 - 4c.
  3. Imponha \Delta < 0: 36 - 4c < 0 \Rightarrow 4c > 36 \Rightarrow c > 9.

Olhe que a desigualdade é estrita: com c = 9 temos \Delta = 0, e a função vale zero em x = 3, o que não é positivo. Logo c precisa ser maior que 9.

O menor inteiro maior que 9 é c = 10.

Conferindo: f(x) = x^2 - 6x + 10 = (x-3)^2 + 1 \ge 1 > 0 para todo x. Funciona.

Alternativa C.

Pegadinha: O valor c=9 (que dá \Delta=0) não está nas opções, mas é o limite que engana: a função seria zero em x=3, e não positiva, por isso exige-se c>9 e o menor inteiro é 10.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ACom c=-20 o discriminante é positivo (36+80), então a função assume valores negativos.
  • BCom c=-10 também temos \Delta>0, e a parábola cruza o eixo x.
  • DCom c=5, \Delta = 36-20 = 16 > 0, logo há raízes reais e valores negativos.

Assunto: Função quadrática.

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Fonte: EEAR 2024 · CFS 2. Prova oficial ↗