PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 55 (CFS 2) da EEAR 2024

CFS 2 · Matemática: Equação da circunferência

– Para que o ponto \text{A}(3,1) seja externo à circunferência \lambda de equação x^2 + y^2 + 6x - 8y + m = 0, m deve ser um número real pertencente ao intervalo ___________ .

  1. A
    ]-20, 25[
  2. B
    ]-25, 20[
  3. C
    ]16, 30[
  4. D
    ]12, 29[
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Resolução comentada

Para que a equação represente uma circunferência e o ponto seja externo a ela, duas condições precisam valer ao mesmo tempo.

Condição 1: ser circunferência. Completando quadrados:

(x+3)^2 + (y-4)^2 = 25 - m

O centro é C(-3,4) e r^2 = 25 - m. Como r^2>0, precisamos de m<25.

Condição 2: A externo. O ponto é externo quando a distância dele ao centro é maior que o raio, ou seja, d^2 > r^2.

  1. d^2 = (3+3)^2 + (1-4)^2 = 36 + 9 = 45.
  2. 45 > 25 - m, logo m > -20.

Substituindo A na equação, dá o mesmo resultado: 9 + 1 + 18 - 8 + m = 20 + m > 0, portanto m>-20.

Juntando as condições: -20 < m < 25, isto é, m \in\ ]-20, 25[.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa B engana por trocar os sinais dos extremos; quem esquece a condição m<25 ou erra o sinal de m na desigualdade cai nela.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BInverte os sinais dos limites, obtendo ]-25,20[ em vez de ]-20,25[.
  • CIntervalo sem relação com as condições m>-20 e m<25.
  • DIntervalo arbitrário, que não decorre de d^2>r^2 nem de r^2>0.

Assunto: Equação da circunferência.

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Fonte: EEAR 2024 · CFS 2. Prova oficial ↗