PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 54 (CFS 1) da EEAR 2024

CFS 1 · Matemática: Razão e proporção

– Em um plano cartesiano, os pontos A, B e C estão sobre a reta de equação y = x, sendo que B está entre A e C. Se as abscissas de A e C são, respectivamente, 0 e 6, e se \frac{\text{AC}}{\text{AB}} = \frac{\text{AB}}{\text{BC}}, então a ordenada de B é _______ .

  1. A
    4(\sqrt{6} - 1)
  2. B
    3(\sqrt{5} - 1)
  3. C
    4
  4. D
    3
Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.
Reportar erro na questão
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Resolução comentada

Como A, B e C estão sobre a reta y=x, cada ponto tem ordenada igual à abscissa. Logo A=(0,0) e C=(6,6), e B=(b,b) com 0<b<6.

Todos os pontos estão sobre a mesma reta, então as razões entre distâncias podem ser calculadas só com as abscissas, pois as distâncias são proporcionais a elas (o fator \sqrt{2} se cancela na proporção).

  1. AC \propto 6, AB \propto b, BC \propto 6-b.

  2. Aplicando a condição \frac{AC}{AB}=\frac{AB}{BC}:

\frac{6}{b}=\frac{b}{6-b}

  1. Multiplicando em cruz: b^2 = 6(6-b), ou seja, b^2+6b-36=0.

  2. Por Bhaskara: \Delta = 36+144=180, então \sqrt{\Delta}=6\sqrt{5}.

b=\frac{-6\pm 6\sqrt{5}}{2}=-3\pm 3\sqrt{5}
  1. Como b>0, ficamos com b=3\sqrt{5}-3=3(\sqrt{5}-1)\approx 3{,}71, que está entre 0 e 6, como deve ser.

Como a reta é y=x, a ordenada de B é igual à abscissa, ou seja, 3(\sqrt{5}-1). Esse é o chamado segmento áureo: AB é o segmento áureo de AC.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor 4(\sqrt{6}-1)\approx 5{,}8 não satisfaz a proporção; vem de uma equação errada.
  • CCom b=4 tem-se 6/4=1{,}5 e 4/2=2, razões diferentes.
  • DÉ o ponto médio (b=3), que daria razões 2 e 1, não iguais.

Assuntos: Razão e proporção, Equação do 2º grau.

Reportar erro na resolução
O que está errado?
Sem cadastro: não guardamos quem enviou.
Ver como caiu na prova Questão 54 no caderno CFS 1 da EEAR 2024

Fonte: EEAR 2024 · CFS 1. Prova oficial ↗