PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 71 (CFS 2) da EEAR 2023

CFS 2 · Matemática: Matrizes e determinantes

– Dadas as matrizes A = \begin{pmatrix} a & -b \\ b & a \end{pmatrix} e B = A^2, o valor do determinante de B é ________.

  1. A
    a^4 + b^4
  2. B
    (a^2 + b^2)^2
  3. C
    4\ a^2b^2
  4. D
    (a + b)^2
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Resolução comentada

Use a propriedade do determinante do produto (teorema de Binet): \det(A\cdot A)=\det A\cdot\det A, ou seja, \det(A^2)=(\det A)^2.

Calculando o determinante de A (diagonal principal menos diagonal secundária):

  1. \det A = a\cdot a-(-b)\cdot b
  2. \det A = a^2+b^2

Agora, elevando ao quadrado:

\det B=(\det A)^2=(a^2+b^2)^2

Conferindo pelo caminho direto: A^2=\begin{pmatrix} a^2-b^2 & -2ab \\ 2ab & a^2-b^2 \end{pmatrix}. Seu determinante é (a^2-b^2)^2+4a^2b^2 = a^4-2a^2b^2+b^4+4a^2b^2 = a^4+2a^2b^2+b^4=(a^2+b^2)^2, o mesmo resultado.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AEsquece o termo cruzado 2a^2b^2 ao desenvolver (a^2+b^2)^2, tratando o quadrado como soma de quadrados.
  • CÉ apenas o termo 4a^2b^2 do produto (-2ab)(2ab), sem somar (a^2-b^2)^2.
  • DConfunde a^2+b^2 com (a+b)^2, ignorando o termo 2ab e o expoente correto.

Assunto: Matrizes e determinantes.

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Fonte: EEAR 2023 · CFS 2. Prova oficial ↗