PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 63 (CFS 2) da EEAR 2023

CFS 2 · Matemática: Triângulos: congruência e pontos notáveis

– Na figura, o ângulo x é formado pelas bissetrizes dos ângulos internos dos vértices \text{B} e \text{C} do triângulo \text{ABC}. Dessa forma, pode-se afirmar que 2x - y é igual a _______.

Triângulo ABC com ângulo interno no vértice A indicado como y. Segmentos partindo dos vértices da base B e C encontram-se em um ponto interno formando um ângulo indicado como x.

  1. A
    60^\circ
  2. B
    90^\circ
  3. C
    120^\circ
  4. D
    180^\circ
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Resolução comentada

Chame de B e C os ângulos internos do triângulo nos vértices B e C. As bissetrizes dividem esses ângulos ao meio, então no triângulo formado por B, C e o ponto de encontro das bissetrizes, os ângulos da base valem \frac{B}{2} e \frac{C}{2}.

A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180^\circ. Aplicando isso a cada triângulo:

  1. No triângulo ABC: y + B + C = 180^\circ, logo B + C = 180^\circ - y.
  2. No triângulo menor (B, C e o ponto de encontro): x + \frac{B}{2} + \frac{C}{2} = 180^\circ, logo x = 180^\circ - \frac{B+C}{2}.
  3. Substituindo B + C: x = 180^\circ - \frac{180^\circ - y}{2} = 90^\circ + \frac{y}{2}.
  4. Multiplicando por 2: 2x = 180^\circ + y.
  5. Portanto, 2x - y = 180^\circ.

Conferindo com um exemplo: se y = 60^\circ, então x = 120^\circ e 2x - y = 240^\circ - 60^\circ = 180^\circ.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com a dedução; não sai da relação x = 90^\circ + y/2.
  • BConfunde com o caso em que x seria 90^\circ + y ou esquece de dobrar x.
  • CValor que não resulta da relação 2x = 180^\circ + y; erro ao usar metade dos ângulos.

Assunto: Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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Fonte: EEAR 2023 · CFS 2. Prova oficial ↗