PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 60 (CFS 2) da EEAR 2023

CFS 2 · Matemática: Função modular

– Se a função f: A \to \mathbb{R} definida por f(x) = |x - 2| é uma função injetora, então um possível conjunto A é \{x \in \mathbb{R} \mid \underline{\hspace{3cm}}\}.

  1. A
    -2 < x < 4
  2. B
    0 \leq x \leq 4
  3. C
    x \geq 0
  4. D
    x \geq 2
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Resolução comentada

Uma função é injetora quando cada valor de f(x) vem de um único x do domínio, isto é, f(x_1)=f(x_2) só ocorre se x_1=x_2.

O gráfico de f(x)=|x-2| é um "V" com vértice em x=2. Ele é simétrico em relação à reta x=2, ou seja, f(2+k)=f(2-k)=|k|. Portanto, se o domínio A contiver dois pontos 2+k e 2-k com k\neq 0, a função repete valor e deixa de ser injetora.

Assim, A deve ficar de um lado só do vértice (podendo incluir o próprio x=2). Testando as alternativas:

  1. (A) -2<x<4: contém 1 e 3, ambos com f=1. Não é injetora.
  2. (B) 0\leq x\leq 4: contém 0 e 4, ambos com f=2. Não é injetora.
  3. (C) x\geq 0: contém 1 e 3, ambos com f=1. Não é injetora.
  4. (D) x\geq 2: nesse intervalo x-2\geq 0, logo f(x)=x-2, função afim crescente e, portanto, injetora.

Alternativa D.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AO intervalo contém pontos simétricos em relação a x=2, como 1 e 3, com mesma imagem.
  • BContém 0 e 4, ambos com f=2, então há imagens repetidas.
  • CInclui 1 e 3 (ambos com f=1), pois passa dos dois lados do vértice x=2.

Assuntos: Função modular, Conceito de função, composta e inversa.

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Fonte: EEAR 2023 · CFS 2. Prova oficial ↗