PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 61 (CFS 2) da EEAR 2023

CFS 2 · Matemática: Ângulos, polígonos e quadriláteros

Seja o hexágono regular ABCDEF, de lado medindo 4 cm. Assim, \text{BF} = ________ cm.

Hexágono regular com vértices rotulados em sentido anti-horário: A no topo à direita, B no topo à esquerda, C à esquerda, D na base à esquerda, E na base à direita e F à direita. Há um segmento de reta traçado unindo os vértices B e F.

  1. A
    4
  2. B
    6
  3. C
    4\sqrt{3}
  4. D
    6\sqrt{3}
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Resolução comentada

BF é a diagonal menor do hexágono: ela liga B a F, pulando o vértice A, e forma o triângulo ABF.

O ângulo interno de um hexágono regular vale:

\frac{(6-2)\cdot 180^\circ}{6}=120^\circ

No triângulo ABF, os lados AB e AF são lados do hexágono, então AB=AF=4 e o ângulo em A mede 120^\circ. Pela lei dos cossenos:

  1. BF^2 = AB^2 + AF^2 - 2\cdot AB\cdot AF\cdot\cos 120^\circ
  2. BF^2 = 16 + 16 - 2\cdot 4\cdot 4\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)
  3. BF^2 = 32 + 16 = 48
  4. BF=\sqrt{48}=4\sqrt{3} cm

Conferência: o triângulo ABF é isósceles com ângulos da base de 30^\circ. Baixando a altura de A, a metade de BF vale 4\cos 30^\circ = 2\sqrt{3}, logo BF=4\sqrt{3}. O resultado confere.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AConfunde a diagonal BF com o lado do hexágono, que mede 4 cm.
  • BNão corresponde à diagonal menor; seria resultado de conta errada com o ângulo (não é lado nem diagonal).
  • DErro de conta com a lei dos cossenos ou de proporção; 6\sqrt{3} excede o diâmetro de 8 cm do hexágono.

Assunto: Ângulos, polígonos e quadriláteros.

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Fonte: EEAR 2023 · CFS 2. Prova oficial ↗