PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 52 (CFS 2) da EEAR 2023

CFS 2 · Matemática: Logaritmos e função logarítmica

– Seja a função \text{f}\colon \mathbb{R}_+^* \to \mathbb{R} definida por \text{f(x)} = \log_\text{a}\text{x}, com 0 < \text{a} \neq 1. Se \text{f}(4) = [\text{f}(2)]^2, então o valor de a é _______.

  1. A
    \sqrt{2}
  2. B
    1/2
  3. C
    4
  4. D
    2
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Resolução comentada

A função é f(x)=\log_a x. Precisamos usar a condição f(4)=[f(2)]^2.

  1. Escreva f(4) usando 4=2^2: f(4)=\log_a 4=\log_a 2^2=2\log_a 2.

  2. Chame \log_a 2 = t. Então f(2)=t e f(4)=2t.

  3. A condição vira 2t=t^2, ou seja, t^2-2t=0, o que dá t(t-2)=0. Logo t=0 ou t=2.

  4. Se t=0, então \log_a 2=0, o que exigiria a^0=2, isto é, 1=2. É impossível, então t=0 não serve.

  5. Fica t=2: \log_a 2=2. Pela definição de logaritmo, a^2=2.

  6. Como a base precisa ser positiva (0<a\neq 1), a=\sqrt{2}.

Conferindo: f(2)=\log_{\sqrt2}2=2 e f(4)=\log_{\sqrt2}4=4. De fato, 4=2^2.

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa D engana quem trata o resultado \log_a 2=2 como se fosse a=2, esquecendo de aplicar a definição a^2=2.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BCom a=1/2, f(2)=-1 e f(4)=-2, e -2\neq(-1)^2=1.
  • CCom a=4, f(2)=1/2 e f(4)=1, mas (1/2)^2=1/4\neq 1.
  • DCom a=2, f(2)=1 e f(4)=2, mas 1^2=1\neq 2; confunde a=2 com \log_a 2=2.

Assunto: Logaritmos e função logarítmica.

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Fonte: EEAR 2023 · CFS 2. Prova oficial ↗