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Questão 61 (CFS 2) da EEAR 2022

CFS 2 · Matemática: Função quadrática

– Seja a função f(x) = ax^2 + bx + c. Se f tem duas raízes reais distintas e se o vértice do gráfico de f é \text{V}_{\text{f}} (x_{\text{v}} , y_{\text{v}}), então o vértice do gráfico da função g(x) = -ax^2 - bx - c é o ponto

  1. A
    (x_{\text{v}} , y_{\text{v}})
  2. B
    (x_{\text{v}} , -y_{\text{v}})
  3. C
    (-x_{\text{v}} , y_{\text{v}})
  4. D
    (-x_{\text{v}} , -y_{\text{v}})
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Resolução comentada

Note que g(x) = -(ax^2 + bx + c) = -f(x). Ou seja, o gráfico de g é o gráfico de f refletido em relação ao eixo x: cada ponto (x, y) de f vira (x, -y) em g.

Confira pelas fórmulas do vértice:

  1. Para f: x_v = \dfrac{-b}{2a} e y_v = \dfrac{-\Delta}{4a}, com \Delta = b^2 - 4ac.
  2. Para g, os coeficientes são -a, -b e -c. O discriminante é \Delta_g = (-b)^2 - 4(-a)(-c) = b^2 - 4ac = \Delta.
  3. Abscissa do vértice de g: x_{v_g} = \dfrac{-(-b)}{2(-a)} = \dfrac{b}{-2a} = \dfrac{-b}{2a} = x_v.
  4. Ordenada do vértice de g: y_{v_g} = \dfrac{-\Delta}{4(-a)} = \dfrac{\Delta}{4a} = -y_v.

Portanto o vértice de g é (x_v, -y_v). Faz sentido: a reflexão no eixo x não muda a posição horizontal, só inverte o sinal da altura (o vértice que era mínimo vira máximo, e vice-versa).

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Aignora que g=-f inverte o sinal da ordenada; o vértice só permaneceria igual se y_v=0.
  • Ctroca o sinal da abscissa, mas x_v=-b/2a não muda quando todos os coeficientes trocam de sinal.
  • Dinverte também a abscissa, como se fosse uma reflexão na origem, mas g=-f é reflexão apenas no eixo x.

Assunto: Função quadrática.

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Fonte: EEAR 2022 · CFS 2. Prova oficial ↗