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Questão 55 (CFS 2) da EEAR 2022

CFS 2 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

– O lado de um triângulo equilátero mede 12\text{ cm}. Se a área desse triângulo é igual à área de um hexágono regular de lado x\text{ cm}, então o valor de x é

  1. A
    2
  2. B
    6
  3. C
    2\sqrt{6}
  4. D
    3\sqrt{6}
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Resolução comentada

Vamos calcular a área do triângulo equilátero e igualá-la à área do hexágono regular.

Área do triângulo equilátero de lado \ell: A=\dfrac{\ell^2\sqrt{3}}{4}.

  1. Com \ell=12: A=\dfrac{144\sqrt{3}}{4}=36\sqrt{3}\ \text{cm}^2.

Área do hexágono regular: ele se divide em 6 triângulos equiláteros de lado x, então A=6\cdot\dfrac{x^2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{3x^2\sqrt{3}}{2}.

  1. Igualando as áreas:
\dfrac{3x^2\sqrt{3}}{2}=36\sqrt{3}
  1. Cancelando \sqrt{3} e isolando x^2:
3x^2=72 \Rightarrow x^2=24
  1. Tirando a raiz:
x=\sqrt{24}=2\sqrt{6}\ \text{cm}

Conferindo: \dfrac{3\cdot 24\sqrt{3}}{2}=36\sqrt{3}, que é a área do triângulo.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AValor sem relação com a igualdade de áreas; x=2 daria área do hexágono de apenas 6\sqrt{3}.
  • BSupõe que o hexágono tem lado igual à metade do lado do triângulo, ignorando que as áreas dependem de x^2.
  • DErra a conta ao obter x^2=54, por exemplo usando \dfrac{3x^2\sqrt{3}}{2} com valor errado da área do triângulo.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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Fonte: EEAR 2022 · CFS 2. Prova oficial ↗