PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS
Questão 70 (CFS 2) da EEAR 2021
– Determine os valores de a e b para que o sistema \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 3 & a \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ b \end{pmatrix} seja impossível.
- Aa = 3 e b = 4
- Ba \neq 3 e b = 4
- Ca = -3 e b \neq 12
- Da \neq -3 e b \neq 12
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Resolução comentada
O sistema matricial equivale a duas equações:
\begin{cases} x - y = 4 \\ 3x + ay = b \end{cases}
Um sistema 2\times 2 é impossível quando as retas são paralelas e distintas: os coeficientes de x e y são proporcionais, mas os termos independentes não seguem a mesma proporção.
- Determinante da matriz dos coeficientes: \det = 1\cdot a - (-1)\cdot 3 = a + 3.
- Se \det \neq 0, o sistema tem solução única (possível e determinado). Então, para ser impossível, precisamos de \det = 0, ou seja, a = -3.
- Com a = -3, a segunda equação fica 3x - 3y = b. Multiplicando a primeira equação por 3: 3x - 3y = 12.
- Assim, o sistema fica 3x-3y=12 e 3x-3y=b. Se b = 12, as equações são iguais (infinitas soluções). Se b \neq 12, há contradição, e o sistema é impossível.
Portanto, a condição é a = -3 e b \neq 12.
Alternativa C.
Pegadinha: A alternativa D engana quem esquece que a impossibilidade exige determinante nulo (a=-3); a A e a B enganam com o sinal errado de a.
Por que as outras alternativas estão erradas
- ACom a=3 o determinante vale 6, então o sistema tem solução única; não é impossível.
- BCom a\neq 3 não se anula o determinante a+3 (erro de sinal), e b=4 não tem relação com a condição.
- DCom a\neq -3 o determinante é não nulo e o sistema tem solução única, qualquer que seja b.
Assunto: Sistemas lineares.
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Fonte: EEAR 2021 · CFS 2. Prova oficial ↗