PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 69 (CFS 2) da EEAR 2021

CFS 2 · Matemática: Matrizes e determinantes

– Seja \text{A} = (\text{aij}) uma matriz de ordem 2\text{x}2, com \begin{cases} 2^{\text{i}+\text{j}}, \text{i} = \text{j} \\ (-1)^\text{i}, \text{i} \neq \text{j} \end{cases}.

Considere \text{A}^{-1} = \begin{pmatrix} \text{a} & \text{b} \\ \text{c} & \text{d} \end{pmatrix} a matriz inversa de A. Então, a soma dos elementos \text{a} + \text{b} é:

  1. A
    18
  2. B
    17/65
  3. C
    19/20
  4. D
    12/17
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Resolução comentada

Primeiro, monte a matriz A usando a lei de formação: quando i=j, a_{ij}=2^{i+j}; quando i\neq j, a_{ij}=(-1)^i.

  1. a_{11}=2^{1+1}=4
  2. a_{22}=2^{2+2}=16
  3. a_{12}=(-1)^1=-1
  4. a_{21}=(-1)^2=1

Logo:

A=\begin{pmatrix}4&-1\\1&16\end{pmatrix}

O determinante é \det A=4\cdot16-(-1)\cdot1=64+1=65.

Para uma matriz 2\times2 \begin{pmatrix}p&q\r&s\end{pmatrix}, a inversa é \dfrac{1}{\det}\begin{pmatrix}s&-q\\-r&p\end{pmatrix}: troca-se de lugar os elementos da diagonal principal e muda-se o sinal dos da diagonal secundária.

A^{-1}=\frac{1}{65}\begin{pmatrix}16&1\\-1&4\end{pmatrix}

Assim, a=\dfrac{16}{65} e b=\dfrac{1}{65}, e então:

a+b=\frac{16}{65}+\frac{1}{65}=\frac{17}{65}

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • A18 não resulta de nenhum cálculo correto; ignora o fator 1/\det A e soma elementos errados da matriz.
  • C19/20 não corresponde a nenhum resultado da inversa de A; valor sem base no cálculo.
  • D12/17 não vem da inversa; resultado de erro na montagem da matriz ou do determinante.

Assunto: Matrizes e determinantes.

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Fonte: EEAR 2021 · CFS 2. Prova oficial ↗