Questão 63 (CFS 2) da EEAR 2021

Como z tem módulo 1 e argumento 45^\circ, usamos a 1ª fórmula de De Moivre: z^n = \cos(n\theta) + i\sen(n\theta).

1. Calculamos a potência:
   

   z^{10} = \cos(10\cdot 45^\circ) + i\sen(10\cdot 45^\circ) = \cos 450^\circ + i\sen 450^\circ

2. Reduzimos à primeira volta: 450^\circ - 360^\circ = 90^\circ. Então
   

   z^{10} = \cos 90^\circ + i\sen 90^\circ = 0 + i\cdot 1 = i

3. Agora o inverso:
   

   \frac{1}{z^{10}} = \frac{1}{i}

4. Multiplicamos numerador e denominador por -i (o conjugado de i):
   

   \frac{1}{i}\cdot\frac{-i}{-i} = \frac{-i}{-i^2} = \frac{-i}{1} = -i

Outra forma de ver: o inverso de um complexo de módulo 1 tem o argumento oposto, ou seja, \cos(-90^\circ) + i\sen(-90^\circ) = 0 - i = -i.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa A engana quem calcula z^{10}=i e esquece que a pergunta pede o inverso, que é -i.

Por que as outras alternativas estão erradas

• APara em z^{10}=i e esquece de calcular o inverso 1/z^{10}.
• CNão corresponde a nenhum argumento obtido: 1/z^{10} tem argumento -90^\circ, não 0^\circ.
• DSeria o resultado para argumento 180^\circ, o que ocorreria com erro na redução de 450^\circ.

Assunto: Números complexos.

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