Questão 64 (CFS 2) da EEAR 2021

A ideia é escrever \tg x + \operatorname{cotg} x em função de seno e cosseno e reconhecer o seno do arco duplo.

1. Reescrevendo: \tg x + \operatorname{cotg} x = \dfrac{\sen x}{\cos x} + \dfrac{\cos x}{\sen x}.

2. Com denominador comum \sen x \cos x:

   \dfrac{\sen^2 x + \cos^2 x}{\sen x \cos x} = \dfrac{1}{\sen x \cos x}
   pois \sen^2 x + \cos^2 x = 1.

3. Como \sen 2x = 2\sen x \cos x, temos \sen x \cos x = \dfrac{\sen 2x}{2}. Então:

   \tg x + \operatorname{cotg} x = \dfrac{1}{\frac{\sen 2x}{2}} = \dfrac{2}{\sen 2x}

4. Igualando ao valor dado:

   \dfrac{2}{\sen 2x} = \dfrac{5}{2}

5. Isolando:

   \sen 2x = \dfrac{2\cdot 2}{5} = \dfrac{4}{5}

Verificação: 4/5 está entre -1 e 1, então é um valor possível para o seno.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AInverte a relação e usa 2/5 em vez de 4/5, esquecendo o fator 2 de \sen 2x = 2\sen x\cos x.
• CValor sem relação com a identidade; não decorre de 2/\sen 2x = 5/2.
• DMaior que 1, impossível para um seno.

Assunto: Identidades, adição de arcos e arco duplo.

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