Questão 52 (CFS 2) da EEAR 2021

Question

– A área do triângulo ABC, dado na figura, é:

Triângulo retângulo ABC em C, com hipotenusa AB e catetos BC e AC de comprimento x. O ângulo no vértice B mede 30°. Um ponto interno sobre o cateto BC delimita um segmento de medida 50 a partir de B e outro de medida y até C. Um segmento liga esse ponto ao vértice A, formando um ângulo de 60° com a base.

A
\frac{1875}{2}\sqrt{3}
B
\frac{1670}{3}\sqrt{2}
C
\frac{25}{2}\sqrt{3}
D
\frac{50}{3}\sqrt{2}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 52 (CFS 2) da EEAR 2021

CFS 2 · Matemática: Trigonometria no triângulo retângulo

– A área do triângulo ABC, dado na figura, é:

Triângulo retângulo ABC em C, com hipotenusa AB e catetos BC e AC de comprimento x. O ângulo no vértice B mede 30°. Um ponto interno sobre o cateto BC delimita um segmento de medida 50 a partir de B e outro de medida y até C. Um segmento liga esse ponto ao vértice A, formando um ângulo de 60° com a base.

A
\frac{1875}{2}\sqrt{3}
B
\frac{1670}{3}\sqrt{2}
C
\frac{25}{2}\sqrt{3}
D
\frac{50}{3}\sqrt{2}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Na figura, o ponto D está sobre BC, com BD = 50 e DC = y. O ângulo em B mede 30° e o ângulo ADC mede 60°. O cateto AC mede x (a descrição do enunciado diz que os dois catetos medem x, mas pela figura x é só AC; BC = 50 + y).

O ângulo ADC = 60° é externo ao triângulo ABD. Ele é a soma dos dois ângulos internos não adjacentes: 60° = 30° + ∠BAD. Logo ∠BAD = 30°, e o triângulo ABD é isósceles, com DA = DB = 50.

Agora usamos o triângulo retângulo ADC, em que AD = 50 é a hipotenusa:

y = 50\cos 60° = 25
x = 50\,\sen 60° = 25\sqrt{3}

O cateto BC vale:

BC = 50 + y = 75

Conferindo com o ângulo de 30°: \tg 30° = \frac{x}{75} = \frac{25\sqrt3}{75} = \frac{\sqrt3}{3}. Está correto.

A área do triângulo ABC é:

S = \frac{BC\cdot AC}{2} = \frac{75\cdot 25\sqrt{3}}{2} = \frac{1875}{2}\sqrt{3}

Alternativa A.

Pegadinha: A alternativa C engana quem calcula a área só com o triângulo menor ADC (base 25), em vez de usar BC = 75 inteiro.

Por que as outras alternativas estão erradas

BValor com \sqrt{2}, que não aparece em nenhuma etapa; os ângulos de 30° e 60° levam a \sqrt{3}.
CUsa só y = 25 e x = 25√3 como base e altura, esquecendo que BC = 50 + y = 75.
DTambém traz \sqrt{2}, incompatível com os ângulos dados.

Assuntos: Trigonometria no triângulo retângulo, Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 52 no caderno CFS 2 da EEAR 2021

Fonte: EEAR 2021 · CFS 2. Prova oficial ↗