Questão 72 (CFS 1) da EEAR 2020

Question

– Da figura, sabe-se que \text{OB} = \text{r} é raio do semicírculo de centro \text{O} e de diâmetro \overline{\text{AC}}. Se \text{AB} = \text{BC}, a área hachurada da figura, em unidades quadradas, é

Semicírculo de diâmetro AC e centro O, contendo o triângulo isósceles ABC inscrito, com as regiões circulares delimitadas pelas cordas AB e BC hachuradas.

A
\dfrac{\text{r}^2\pi}{2} - 1
B
\text{r}^2\left(\dfrac{\pi}{2} - 1\right)
C
\text{r}^2(\pi - 2)
D
\text{r}^2\pi - \dfrac{1}{2}

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 72 (CFS 1) da EEAR 2020

CFS 1 · Matemática: Círculo: comprimento, arcos e áreas

– Da figura, sabe-se que \text{OB} = \text{r} é raio do semicírculo de centro \text{O} e de diâmetro \overline{\text{AC}}. Se \text{AB} = \text{BC}, a área hachurada da figura, em unidades quadradas, é

Semicírculo de diâmetro AC e centro O, contendo o triângulo isósceles ABC inscrito, com as regiões circulares delimitadas pelas cordas AB e BC hachuradas.

A
\dfrac{\text{r}^2\pi}{2} - 1
B
\text{r}^2\left(\dfrac{\pi}{2} - 1\right)
C
\text{r}^2(\pi - 2)
D
\text{r}^2\pi - \dfrac{1}{2}

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

A região hachurada é o semicírculo menos o triângulo ABC.

Área do semicírculo, de raio r:
\frac{\pi r^2}{2}
Como AB = BC e B está na circunferência, o triângulo ABC é isósceles e inscrito no semicírculo, com AC como diâmetro. Então \hat{B} = 90^\circ, e OB é perpendicular a AC, pois B está no ponto médio do arco.
O triângulo tem base AC = 2r e altura OB = r:
A_{\triangle} = \frac{2r \cdot r}{2} = r^2
Área hachurada:
\frac{\pi r^2}{2} - r^2 = r^2\left(\frac{\pi}{2} - 1\right)

As alternativas A e D não têm r^2 multiplicando o 1 (ou o termo subtraído), o que não bate com a conta. A C dobra o resultado correto.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

Asubtrai 1 em vez de r^2, esquecendo que a área do triângulo depende de r.
Cé o dobro do valor correto, como se fosse o círculo inteiro menos o quadrado.
Dusa a área do círculo inteiro e subtrai um valor sem r^2, incoerente dimensionalmente.

Assuntos: Círculo: comprimento, arcos e áreas, Áreas e perímetros de polígonos.

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Questão 72 no caderno CFS 1 da EEAR 2020

Fonte: EEAR 2020 · CFS 1. Prova oficial ↗