PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 71 (CFS 1) da EEAR 2020

CFS 1 · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

– A figura representa o logotipo de uma empresa que é formado por 2 triângulos retângulos congruentes e por um losango. Considerando as medidas indicadas, a área do losango, em \text{cm}^2, é

Logotipo formado por dois triângulos retângulos congruentes e um losango na parte superior. A base é uma linha reta horizontal compartilhada pelos dois triângulos, que se tocam em um vértice central inferior. Os ângulos externos da base medem 30°, e cada triângulo tem um ângulo reto no vértice em contato com a lateral do losango, com o cateto adjacente ao vértice central medindo 3 cm.

  1. A
    3\sqrt{3}
  2. B
    4{,}5\sqrt{3}
  3. C
    5\sqrt{3}
  4. D
    6{,}5\sqrt{3}
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Resolução comentada

Cada triângulo retângulo tem ângulo de 30^\circ na base e ângulo reto no vértice que toca o losango. O cateto de 3\ \text{cm} liga esse vértice reto ao vértice central inferior, então ele é o cateto oposto ao ângulo de 30^\circ.

O lado do losango é esse cateto de 3\ \text{cm}, pois o losango tem um lado ao longo dele. Como o losango tem os quatro lados iguais, o lado mede 3\ \text{cm}.

Agora precisamos do ângulo do losango no vértice central inferior. Na base, os ângulos em torno desse ponto somam 180^\circ. No triângulo, o ângulo no vértice central é 180^\circ-90^\circ-30^\circ=60^\circ. Os dois triângulos ocupam 60^\circ+60^\circ=120^\circ, então o ângulo do losango nesse vértice é 180^\circ-120^\circ=60^\circ.

Área do losango com lado \ell e ângulo \theta:

A=\ell^2\cdot\sen\theta
  1. \ell=3 e \theta=60^\circ.
  2. A=3^2\cdot\sen 60^\circ=9\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=4{,}5\sqrt3\ \text{cm}^2.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsa área \ell^2\sen\theta com lado menor ou confunde o ângulo, chegando a 3\sqrt3, que não corresponde ao losango de lado 3 e ângulo de 60^\circ.
  • CValor sem justificativa geométrica; não resulta de 9\cdot\sen60^\circ.
  • DValor maior que o possível para lado 3, pois a área máxima seria 9 e ficaria sem fundamento no cálculo.

Assuntos: Áreas e perímetros de polígonos, Trigonometria no triângulo retângulo.

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Fonte: EEAR 2020 · CFS 1. Prova oficial ↗