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Questão 61 (CFS 1) da EEAR 2020

CFS 1 · Matemática: Equações polinomiais e relações de Girard

Da equação x^3 + 11x^2 + kx + 36 = 0, sabe-se que o produto de duas de suas raízes é 18. Assim, o valor de k é

  1. A
    6
  2. B
    8
  3. C
    18
  4. D
    36
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Resolução comentada

Chame as raízes de a, b e c e use as relações de Girard para um polinômio de grau 3, x^3 + 11x^2 + kx + 36:

  • soma: a+b+c = -11
  • soma dos produtos dois a dois: ab+ac+bc = k
  • produto: abc = -36

O enunciado diz que o produto de duas raízes é 18. Tome ab = 18.

  1. Do produto: abc = 18c = -36, logo c = -2.
  2. Da soma: a+b-2 = -11, logo a+b = -9.
  3. Para k: k = ab + c(a+b) = 18 + (-2)(-9) = 18 + 18 = 36.

Conferência: a e b têm soma -9 e produto 18, então são raízes de t^2+9t+18=0, ou seja, -3 e -6. As raízes são -3, -6 e -2. A soma é -11 e o produto é -36, como pedido. Também ab+ac+bc = 18+6+12 = 36.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa C engana quem toma k=ab=18, esquecendo de somar ac+bc.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANão corresponde a nenhuma combinação das relações de Girard; 6 é só o valor de ac com a=-3.
  • BValor sem sentido nas relações: a soma dos produtos dois a dois é 36, não 8.
  • CUsa apenas ab=18 e esquece os termos ac+bc=18.

Assunto: Equações polinomiais e relações de Girard.

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Fonte: EEAR 2020 · CFS 1. Prova oficial ↗