Questão 68 da EEAR 2017

Para resolver uma desigualdade exponencial, o primeiro passo é escrever os dois lados com a mesma base.

1. Como \dfrac{1}{4} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^2, o lado direito fica \left(\dfrac{1}{4}\right)^x = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2x}.

2. A desigualdade passa a ser \left(\dfrac{1}{2}\right)^{3x-5} > \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2x}.

3. A base \dfrac{1}{2} está entre 0 e 1, então a função exponencial é decrescente. Nesse caso, ao comparar os expoentes, o sentido da desigualdade se inverte:

4. Resolvendo: 3x - 2x < 5, logo x < 5.

Confirmando com um valor: para x=0 (que é menor que 5), o lado esquerdo vale \left(\dfrac{1}{2}\right)^{-5}=32 e o direito vale 1. Como 32>1, a desigualdade é verdadeira. Para x=6, temos \left(\dfrac{1}{2}\right)^{13} contra \left(\dfrac{1}{4}\right)^6=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{12}, e a desigualdade é falsa, como esperado.

O conjunto solução é S=\{x\in\mathbb{R}\mid x<5\}.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa C engana quem mantém o sentido da desigualdade ao cortar as bases, esquecendo que a base \frac{1}{2} é menor que 1.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ANão tem base na resolução; o limite x>1 não surge de nenhuma etapa correta.
• CEsquece de inverter o sentido da desigualdade ao comparar expoentes com base entre 0 e 1, obtendo x>5.
• DCria um intervalo limitado sem justificativa; a solução é apenas x<5.

Assunto: Função exponencial.

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