Questão 69 da EEAR 2017

Aqui entra a lei dos senos: em qualquer triângulo inscrito em uma circunferência de raio R, a razão entre um lado e o seno do ângulo oposto é igual ao diâmetro da circunferência:

O enunciado dá o ângulo A=30^\circ e pede o lado a oposto a ele.

1. Substituímos o ângulo: \dfrac{a}{\sen 30^\circ}=2R.
2. Sabemos que \sen 30^\circ=\dfrac{1}{2}, então \dfrac{a}{1/2}=2R.
3. Isolamos a: a=2R\cdot\dfrac{1}{2}=R.

Portanto o lado oposto ao ângulo de 30^\circ mede R, qualquer que seja o formato do triângulo.

Confirmação geométrica: o ângulo inscrito de 30^\circ enxerga um arco de 60^\circ. A corda que subtende um arco de 60^\circ forma com os dois raios um triângulo isósceles com ângulo de 60^\circ no centro, ou seja, equilátero. A corda mede, então, R.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AUsa o seno de 30° como se o lado fosse R\cdot\sen 30^\circ, esquecendo que a lei dos senos dá 2R e não R.
• CIguala o lado a 2R (o diâmetro), esquecendo de multiplicar por \sen 30^\circ=1/2.
• DNão corresponde a nenhum cálculo correto; resulta de erro ao manipular a razão da lei dos senos.

Assunto: Lei dos senos e lei dos cossenos.

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