Questão 55 da EEAR 2017

Question

– Seja um triângulo ABC, conforme a figura. Se D e E são pontos, respectivamente, de \overline{\text{AB}} e \overline{\text{AC}}, de forma que \text{AD} = 4, \text{DB} = 8, \text{DE} = x, \text{BC} = y, e se \overline{\text{DE}} // \overline{\text{BC}}, então

Triângulo ABC com o segmento DE paralelo à base BC. O segmento DE tem comprimento indicado por x e o lado BC tem comprimento y.

A
y = x + 8
B
y = x + 4
C
y = 3x
D
y = 2x

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 55 da EEAR 2017

Exame de escolaridade · Matemática: Semelhança e Teorema de Tales

– Seja um triângulo ABC, conforme a figura. Se D e E são pontos, respectivamente, de \overline{\text{AB}} e \overline{\text{AC}}, de forma que \text{AD} = 4, \text{DB} = 8, \text{DE} = x, \text{BC} = y, e se \overline{\text{DE}} // \overline{\text{BC}}, então

Triângulo ABC com o segmento DE paralelo à base BC. O segmento DE tem comprimento indicado por x e o lado BC tem comprimento y.

A
y = x + 8
B
y = x + 4
C
y = 3x
D
y = 2x

Escolha uma alternativa para conferir o gabarito.

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Resolução comentada

Quando um segmento é paralelo à base de um triângulo, ele forma um triângulo menor semelhante ao original. Aqui, \triangle ADE \sim \triangle ABC, pois \overline{DE} // \overline{BC} garante ângulos correspondentes iguais.

Na semelhança, a razão entre lados correspondentes é constante:

\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}

Calcule AB: como D está em \overline{AB}, AB = AD + DB = 4 + 8 = 12.
Substitua na proporção: \dfrac{4}{12}=\dfrac{x}{y}.
Simplifique: \dfrac{1}{3}=\dfrac{x}{y}.
Isole y: y = 3x.

O erro mais comum é usar DB no lugar de AB na razão, o que daria \frac{4}{8} e levaria a y=2x. Lembre que DB é só parte do lado; o lado inteiro correspondente a AD é AB.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa D engana quem usa AD/DB (4/8) em vez de AD/AB (4/12), esquecendo que o lado inteiro é AB = 12.

Por que as outras alternativas estão erradas

ATrata a relação como soma (y = x + 8), mas semelhança dá proporção, não adição.
BTambém usa soma (y = x + 4), ignorando que a relação entre os lados é de razão.
DUsa a razão AD/DB = 4/8 em vez de AD/AB = 4/12.

Assunto: Semelhança e Teorema de Tales.

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Fonte: EEAR 2017 · CFS. Prova oficial ↗