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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 53 da EEAR 2014

Exame de escolaridade · Matemática: Ângulos, polígonos e quadriláteros

— Sejam um hexágono regular e um triângulo equilátero, ambos de lado \ell. A razão entre os apótemas do hexágono e do triângulo é

Hexágono regular de lado l com apótema a6 e triângulo equilátero de lado l com apótema a3

  1. A
    4.
  2. B
    3.
  3. C
    2.
  4. D
    1.
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Resolução comentada

O apótema de um polígono regular é a distância do centro até o ponto médio de um lado. Vamos calcular o de cada figura.

Hexágono regular. Ele se divide em 6 triângulos equiláteros de lado \ell. O apótema a_6 é a altura de um desses triângulos:

a_6=\frac{\ell\sqrt{3}}{2}

Triângulo equilátero. O apótema a_3 é a distância do centro (baricentro) ao lado, que corresponde a \frac{1}{3} da altura. A altura é h=\frac{\ell\sqrt{3}}{2}, então:

a_3=\frac{1}{3}\cdot\frac{\ell\sqrt{3}}{2}=\frac{\ell\sqrt{3}}{6}

Razão.

\frac{a_6}{a_3}=\frac{\ell\sqrt{3}/2}{\ell\sqrt{3}/6}=\frac{1}{2}\cdot\frac{6}{1}=3

Ou seja, o apótema do hexágono é o triplo do apótema do triângulo, pois um é a altura inteira do triângulo equilátero e o outro é só um terço dela.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ANão corresponde a nenhuma relação correta entre as alturas e os apótemas; resulta de erro no cálculo da razão.
  • CUsaria o apótema do triângulo como metade da altura, em vez de um terço.
  • DSupõe que os apótemas são iguais por terem o mesmo lado, ignorando que o centro do triângulo fica a 1/3 da altura.

Assuntos: Ângulos, polígonos e quadriláteros, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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Fonte: EEAR 2014 · CFS. Prova oficial ↗