Questão 52 da EEAR 2014

No terceiro quadrante, seno e cosseno são negativos, e a tangente (\tg x = \frac{\sen x}{\cos x}) é positiva, o que é coerente com \tg x = \frac{2}{3}.

Primeiro, achamos o valor de \sen x em módulo usando a identidade 1 + \tg^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}:

1. 1 + \left(\frac{2}{3}\right)^2 = 1 + \frac{4}{9} = \frac{13}{9}

2. Logo, \cos^2 x = \frac{9}{13}, e como \cos x < 0 no terceiro quadrante: \cos x = -\frac{3}{\sqrt{13}} = -\frac{3\sqrt{13}}{13}.

3. Da definição da tangente, \sen x = \tg x \cdot \cos x:

Conferindo: \sen^2 x + \cos^2 x = \frac{52}{169} + \frac{117}{169} = \frac{169}{169} = 1. ✓

Outra forma de ver: um triângulo com catetos 2 e 3 tem hipotenusa \sqrt{13}. O seno é cateto oposto sobre hipotenusa, \frac{2}{\sqrt{13}} = \frac{2\sqrt{13}}{13}, e o sinal é negativo.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa D engana quem confunde o seno com o cosseno, pois -\frac{3\sqrt{13}}{13} é exatamente \cos x.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AUsa o cateto errado (1 em vez de 2) e ignora o sinal negativo do terceiro quadrante.
• BTem o sinal certo, mas o módulo \frac{1}{\sqrt{13}} está errado, pois o numerador deveria ser 2.
• DTroca seno por cosseno: -\frac{3\sqrt{13}}{13} é o valor de \cos x.

Assuntos: Identidades, adição de arcos e arco duplo, Ciclo trigonométrico e funções trigonométricas.

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