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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 72 da EEAR 2013

Exame de escolaridade · Matemática: Áreas e perímetros de polígonos

  • Considere o retângulo ABCD, e os pontos médios dos seus lados M, N, P e Q. Unindo esses pontos médios, conforme a figura, pode-se concluir que a área hachurada, em \text{cm}^2, é

Retângulo ABCD, com A no vértice inferior esquerdo, B no inferior direito, C no superior direito e D no superior esquerdo. Os pontos médios M, N, P e Q estão, respectivamente, nos lados AB, BC, CD e DA. Os segmentos que unem esses pontos formam um losango branco central; as quatro regiões triangulares entre o losango e os vértices do retângulo estão hachuradas. A base AB mede 4 cm e a altura BC mede 2 cm.

  1. A
    8
  2. B
    4
  3. C
    4\sqrt{2}
  4. D
    2\sqrt{2}
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Resolução comentada

A área hachurada é a área do retângulo menos a área do losango branco formado pelos pontos médios.

  1. Área do retângulo: 4 \cdot 2 = 8\ \text{cm}^2.

  2. O losango MNPQ tem como diagonais os segmentos MP e QN. MP liga os pontos médios dos lados AB e CD, então mede a altura do retângulo: 2\ \text{cm}. QN liga os pontos médios de DA e BC, então mede a base: 4\ \text{cm}.

  3. Área do losango: \dfrac{D\cdot d}{2} = \dfrac{4\cdot 2}{2} = 4\ \text{cm}^2.

  4. Área hachurada: 8 - 4 = 4\ \text{cm}^2.

Outra forma de conferir: os quatro triângulos hachurados nos cantos têm catetos 2 e 1, logo cada um tem área \dfrac{2\cdot 1}{2}=1. Como são quatro, o total é 4\ \text{cm}^2. O losango ocupa exatamente metade do retângulo.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ADá a área do retângulo inteiro (8), sem descontar o losango.
  • CIntroduz \sqrt{2} calculando o lado do losango, o que não tem relação com a área pedida.
  • DTambém usa o lado do losango (\sqrt{5} ou raiz) de forma errada; a área hachurada é 4, não 2\sqrt{2}.

Assunto: Áreas e perímetros de polígonos.

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Ver como caiu na prova Questão 72 no caderno CFS da EEAR 2013

Fonte: EEAR 2013 · CFS. Prova oficial ↗