Questão 61 da EEAR 2013

Uma função f: A \to B só tem inversa f^{-1}: B \to A se cada elemento de B for imagem de algum elemento de A e se essa imagem vier de um único elemento de A.

1. Sobrejetora: todo elemento de B é imagem de algum x \in A, ou seja, \text{Im}(f) = B. Sem isso, a inversa não estaria definida para todo elemento de B.

2. Injetora: elementos diferentes de A têm imagens diferentes. Sem isso, um mesmo y viria de dois valores de x, e a inversa não saberia qual escolher, deixando de ser função.

3. Uma função que é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo se chama bijetora. Portanto, ser bijetora é condição necessária e suficiente para a função ser invertível.

4. Sinal positivo não tem relação com a invertibilidade. Por exemplo, f(x) = -x é bijetora de \mathbb{R} em \mathbb{R} e tem inversa, apesar de assumir valores negativos.

Assim, as opções com "positiva" ficam descartadas, e só injetora ou só sobrejetora não bastam. Resta a condição de ser bijetora.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AExige sobrejetora e positiva, mas só sobrejetora não garante a inversa e a positividade é irrelevante.
• BBijetora basta; acrescentar "positiva" é exigência falsa, pois f(x)=-x é invertível.
• DSó injetora não basta: sem sobrejetividade, a inversa não fica definida em todo o contradomínio.

Assunto: Conceito de função, composta e inversa.

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