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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 60 da EEAR 2013

Exame de escolaridade · Matemática: Matrizes e determinantes

  • O número real x, tal que \begin{vmatrix} x - 1 & x + 2 \\ -3 & x \end{vmatrix} = 5, é
  1. A
    -2
  2. B
    -1
  3. C
    0
  4. D
    1
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Resolução comentada

O determinante de uma matriz 2\times 2 é o produto da diagonal principal menos o produto da diagonal secundária:

\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc

Aplicando com a = x-1, b = x+2, c = -3 e d = x:

  1. Diagonal principal: (x-1)\cdot x = x^2 - x.
  2. Diagonal secundária: (x+2)\cdot(-3) = -3x - 6.
  3. Determinante: x^2 - x - (-3x - 6) = x^2 - x + 3x + 6 = x^2 + 2x + 6.

Igualando a 5:

x^2 + 2x + 6 = 5 \;\Rightarrow\; x^2 + 2x + 1 = 0 \;\Rightarrow\; (x+1)^2 = 0

Logo x = -1, raiz dupla.

Conferindo: com x=-1 a matriz fica \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ -3 & -1 \end{vmatrix} = (-2)(-1) - (1)(-3) = 2 + 3 = 5. Confere.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ACom x=-2 o determinante vale (-3)(-2)-0\cdot(-3)=6, não 5.
  • CCom x=0 o determinante vale 6, não 5; é o valor de x^2+2x+6 sem igualar a 5.
  • DCom x=1 o determinante vale 9; vem de errar o sinal ao subtrair bc.

Assuntos: Matrizes e determinantes, Equação do 2º grau.

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Fonte: EEAR 2013 · CFS. Prova oficial ↗