Questão 70 (CFS 2) da EEAR 2009

Ao girar um triângulo em torno de um de seus lados, o sólido gerado é formado por dois cones unidos pela base. O eixo de rotação é o lado de 6\ \text{dm}, e a base comum dos cones é o círculo descrito pelo vértice oposto, cujo raio é a altura do triângulo.

1. Altura do triângulo equilátero de lado \ell = 6:

   h = \frac{\ell\sqrt{3}}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\ \text{dm}
   Esse valor é o raio r da base dos cones.

2. A altura de cada cone é a distância do vértice do eixo até o pé da altura do triângulo. Como o triângulo é equilátero, o pé da altura é o ponto médio do lado. Logo cada cone tem altura H = 3\ \text{dm}.

3. Volume de um cone:

   V_{cone} = \frac{1}{3}\pi r^2 H = \frac{1}{3}\pi\,(3\sqrt{3})^2\cdot 3 = \frac{1}{3}\pi\cdot 27\cdot 3 = 27\pi

4. Volume total, dois cones:

   V = 2\cdot 27\pi = 54\pi\ \text{dm}^3

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa B engana quem usa raio 3 (metade do lado) em vez da altura 3\sqrt{3}, ou esquece que são dois cones.

Por que as outras alternativas estão erradas

• ANão corresponde ao volume correto; resulta de erro no raio ou na altura dos cones.
• BUsa raio ou altura incorretos (por exemplo, raio 3 em vez de 3\sqrt{3}), obtendo volume menor.
• CErro de cálculo no raio ao quadrado ou na fórmula do cone; não resulta em 54\pi.

Assuntos: Cone e tronco de cone, Triângulos: congruência e pontos notáveis.

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