Questão 69 (CFS 2) da EEAR 2009

Todo número complexo z = a + bi pode ser escrito na forma trigonométrica z = \rho(\cos\theta + i\,\sen\theta), em que \rho é o módulo e \theta é o argumento. O argumento é o ângulo que o ponto (a, b) do plano forma com o eixo real positivo, e vale \cos\theta = \dfrac{a}{\rho} e \sen\theta = \dfrac{b}{\rho}.

Aqui, a = -1 e b = 1.

1. Módulo: \rho = \sqrt{(-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}.
2. Cosseno: \cos\theta = \dfrac{-1}{\sqrt{2}} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}.
3. Seno: \sen\theta = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}.

O cosseno é negativo e o seno é positivo, então \theta está no 2º quadrante. O ângulo de referência é \dfrac{\pi}{4}, pois \dfrac{\sqrt{2}}{2} é o seno e o cosseno de 45^\circ em valor absoluto.

No 2º quadrante: \theta = \pi - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{4}.

Conferindo no plano: o ponto (-1, 1) fica sobre a bissetriz do 2º quadrante, a 135^\circ = \dfrac{3\pi}{4} do eixo real positivo.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa D engana quem calcula só o ângulo de referência \dfrac{\pi}{4} e esquece de ajustar ao 2º quadrante.

Por que as outras alternativas estão erradas

• A\dfrac{5\pi}{6} (150°) teria tangente -\dfrac{\sqrt{3}}{3}, mas aqui a tangente é -1.
• C\dfrac{\pi}{6} (30°) está no 1º quadrante e tem tangente \dfrac{\sqrt{3}}{3}, não condiz com -1+i.
• D\dfrac{\pi}{4} é só o ângulo de referência; ignora que o ponto está no 2º quadrante (corresponderia a 1+i).

Assunto: Números complexos.

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