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PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 71 (CFS 2) da EEAR 2009

CFS 2 · Matemática: Trigonometria no triângulo retângulo

Na figura, \mathrm{BC} = 2\ \text{cm}. Assim, a medida de \overline{\mathrm{AB}}, em cm, é

Quadrilátero ABCD com A no alto à direita, B à esquerda, C abaixo de B e D à direita de C. A diagonal BD divide o quadrilátero em dois triângulos. O ângulo ABD mede 45° e o ângulo BDC mede 30°. Há marcações de ângulo reto em BCD e BDA.

  1. A
    2\sqrt{3}.
  2. B
    4\sqrt{2}.
  3. C
    5\sqrt{2}.
  4. D
    3\sqrt{3}.
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Resolução comentada

A figura tem dois triângulos retângulos que dividem o lado \overline{BD}: o triângulo BCD (reto em C) e o triângulo ABD (reto em D). A ideia é calcular BD no primeiro e usá-lo no segundo.

  1. No triângulo BCD, o ângulo em D mede 30^\circ e o cateto oposto a ele é BC = 2. Então:
\sen 30^\circ = \frac{BC}{BD} \Rightarrow \frac{1}{2} = \frac{2}{BD} \Rightarrow BD = 4\ \text{cm}
  1. No triângulo ABD, o ângulo reto está em D, o ângulo em B mede 45^\circ e BD = 4 é o cateto adjacente a B. A hipotenusa é AB:
\cos 45^\circ = \frac{BD}{AB} \Rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{4}{AB}
  1. Isolando AB:
AB = \frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}\ \text{cm}

Como o triângulo ABD é retângulo com um ângulo de 45^\circ, ele é isósceles (AD = BD = 4), e a hipotenusa é 4\sqrt{2}, o que confirma o resultado.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • A2\sqrt{3} não vem de nenhuma relação correta; confunde as razões de 30^\circ com as de 45^\circ.
  • C5\sqrt{2} corresponderia a BD = 5, valor que não sai do triângulo BCD.
  • D3\sqrt{3} não decorre de BD = 4 com ângulo de 45^\circ; é uma mistura incorreta das razões trigonométricas.

Assunto: Trigonometria no triângulo retângulo.

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Fonte: EEAR 2009 · CFS 2. Prova oficial ↗