Questão 66 (CFS 2) da EEAR 2009

Poliedro regular é aquele em que todas as faces são polígonos regulares iguais e em todos os vértices concorre o mesmo número de arestas. Além disso, ele precisa ser convexo (de Platão).

Para que exista um vértice, a soma dos ângulos das faces que se encontram nele deve ser menor que 360^\circ, e é preciso ter pelo menos 3 faces por vértice.

1. Triângulos equiláteros (ângulo de 60^\circ): 3 faces somam 180^\circ, 4 somam 240^\circ e 5 somam 300^\circ, todos menores que 360^\circ. Com 6 faces dá 360^\circ, que não serve. Resultam o tetraedro, o octaedro e o icosaedro.
2. Quadrados (ângulo de 90^\circ): 3 faces somam 270^\circ, o que serve. Com 4 faces dá 360^\circ, que não serve. Resulta o hexaedro (cubo).
3. Pentágonos regulares (ângulo de 108^\circ): 3 faces somam 324^\circ, o que serve. Com 4 faces passa de 360^\circ. Resulta o dodecaedro.
4. Hexágonos regulares (ângulo de 120^\circ): 3 faces já somam 360^\circ, o que não serve. Polígonos com mais lados também não servem.

Total: 3 + 1 + 1 = 5 poliedros regulares: tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro.

Alternativa B.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AEsquece de um dos cinco sólidos de Platão, por exemplo contando só os que têm faces triangulares ou quadradas mais um.
• CConta um poliedro a mais; não existe sexto, pois com hexágonos os ângulos já somam 360^\circ.
• DConta só os de faces triangulares (tetraedro, octaedro, icosaedro) e ignora cubo e dodecaedro.

Assunto: Poliedros e relação de Euler.

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