Questão 63 (CFS 2) da EEAR 2009

Question

– Seja a matriz \text{M} = \begin{bmatrix} 2 & -3 & x \\ 4 & 9 & x^2 \end{bmatrix} . Se \det \text{M} = ax^2 + bx + c, então o valor de a é

A
12.
B
10.
C
-5.
D
-7.

Answer 1

PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 63 (CFS 2) da EEAR 2009

CFS 2 · Matemática: Matrizes e determinantes

– Seja a matriz \text{M} = \begin{bmatrix} 2 & -3 & x \\ 4 & 9 & x^2 \end{bmatrix} . Se \det \text{M} = ax^2 + bx + c, então o valor de a é

A
12.
B
10.
C
-5.
D
-7.

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Resolução comentada

Como o enunciado traz só duas linhas, a matriz está incompleta: um determinante exige matriz quadrada. Na prova original, a primeira linha é 1\ \ 1\ \ 1, e a matriz é

M=\begin{bmatrix}1&1&1\\2&-3&x\\4&9&x^2\end{bmatrix}.

Vou resolver com essa matriz, que dá resposta entre as alternativas.

Ela tem a forma de Vandermonde: as colunas são (1, 2, 2^2), (1,-3,(-3)^2) e (1,x,x^2). Mesmo assim, vale conferir pelo cálculo direto.

Expanda pela primeira linha:

\det M = 1\cdot(-3x^2-9x) - 1\cdot(2x^2-4x) + 1\cdot(18+12)
Os cofatores são: -3x^2-9x, depois -(2x^2-4x) e depois 18-(-12)=30.
Some tudo:

\det M=-3x^2-9x-2x^2+4x+30=-5x^2-5x+30.

Comparando com ax^2+bx+c, temos a=-5, b=-5 e c=30.

Pela fórmula de Vandermonde, o resultado é o mesmo: (-3-2)(x-2)(x+3)=-5(x^2+x-6), de modo que o coeficiente de x^2 é -5.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

AValor sem relação com o coeficiente de x^2; surge de erro de sinal ou de multiplicação ao montar os cofatores.
BNão resulta do cálculo correto; é um coeficiente trocado ou erro nos produtos da expansão.
DValor sem relação com o coeficiente de x^2; vem de somar mal os termos em x^2 (-3-2=-5, não -7).

Assunto: Matrizes e determinantes.

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Questão 63 no caderno CFS 2 da EEAR 2009

Fonte: EEAR 2009 · CFS 2. Prova oficial ↗