PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 54 da UNICAMP 2025

1ª fase · Matemática: Inequações e desigualdades

Sejam f(x) = x - 2 e g(x) = x^2 - 4x funções reais. A quantidade de números x \in \mathbb{Z} que satisfazem à inequação g(f(x)) < 0 é:

  1. A
    2.
  2. B
    3.
  3. C
    4.
  4. D
    5.
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Resolução comentada

Composição de funções: g(f(x)) significa aplicar g ao valor de f(x), isto é, trocar o x de g por x-2.

  1. Substituindo: g(f(x)) = (x-2)^2 - 4(x-2).
  2. Desenvolvendo: x^2 - 4x + 4 - 4x + 8 = x^2 - 8x + 12.
  3. Raízes de x^2 - 8x + 12 = 0: \Delta = 64 - 48 = 16, então x = \dfrac{8 \pm 4}{2}, ou seja, x = 2 e x = 6.
  4. A parábola tem concavidade para cima (a = 1 > 0), logo é negativa entre as raízes: 2 < x < 6.
  5. Como a desigualdade é estrita (<0), as raízes não entram. Os inteiros são 3, 4, 5.

Conferindo pela outra via: g(y) < 0 quando 0 < y < 4, e y = x - 2 dá 2 < x < 6, o mesmo resultado.

São 3 inteiros.

Alternativa B.

Pegadinha: A alternativa C (e a D) engana quem inclui as raízes 2 e 6, esquecendo que a desigualdade é estrita.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AConta poucos valores, como se excluísse também algum inteiro interior do intervalo (2<x<6).
  • CInclui uma das raízes (x=2 ou x=6), esquecendo que a desigualdade é estrita.
  • DInclui as duas raízes, 2 e 6, tratando a inequação como ≤ 0.

Assuntos: Inequações e desigualdades, Conceito de função, composta e inversa.

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Fonte: Comvest/Vestibular Unicamp 2025. Prova oficial ↗