PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 38 da UNICAMP 2021

1ª fase · Matemática: Função quadrática

Sejam a, b, c termos consecutivos de uma progressão geométrica sem nenhum termo nulo e p(x) o polinômio de grau 2 dado por p(x) = a + bx + cx^2. Se a é positivo, qual das figuras abaixo pode representar corretamente o gráfico de p(x)?

  1. A
    Gráfico de uma parábola com concavidade para cima no plano cartesiano xy, com vértice no segundo quadrante e sem cruzar o eixo x.
  2. B
    Gráfico de uma parábola com concavidade para cima no plano cartesiano xy, interceptando o eixo x em dois pontos negativos e o eixo y em um ponto positivo.
  3. C
    Gráfico de uma parábola com concavidade para cima no plano cartesiano xy, interceptando o eixo y em um ponto positivo e o eixo x em dois pontos positivos.
  4. D
    Gráfico de uma parábola com concavidade para baixo no plano cartesiano xy, interceptando o eixo y em um ponto positivo e o eixo x em dois pontos, um negativo e outro positivo.
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Resolução comentada

Em uma PG de razão q (não nula), b = aq e c = aq^2. Então:

p(x) = a + aqx + aq^2x^2 = a\,(1 + qx + q^2x^2)

  1. Como a>0, o coeficiente de x^2 é c = aq^2 > 0, pois q^2>0. A parábola tem concavidade para cima, o que elimina a alternativa D.

  2. Calculamos o discriminante: \Delta = b^2 - 4ac = a^2q^2 - 4\cdot a\cdot aq^2 = a^2q^2 - 4a^2q^2 = -3a^2q^2.

  3. Como a\neq 0 e q\neq 0, temos \Delta<0. O polinômio não tem raízes reais, e o gráfico não cruza o eixo x.

  4. Resta a parábola voltada para cima que não toca o eixo x. É a que está inteira acima do eixo, com o vértice no segundo quadrante (isso ocorre se q>0, pois x_v = -\frac{b}{2c} = -\frac{1}{2q} tem o sinal oposto ao de q). As alternativas B e C têm duas raízes reais, o que contradiz \Delta<0.

A figura A mostra exatamente isso: concavidade para cima, sem raízes, vértice à esquerda do eixo y.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BMostra duas raízes reais (negativas), mas \Delta=-3a^2q^2<0 impede raízes reais.
  • CTambém tem duas raízes reais (positivas), incompatível com \Delta<0.
  • DTem concavidade para baixo, mas c=aq^2>0 exige concavidade para cima, e ainda mostra raízes reais.

Assuntos: Função quadrática, Progressão geométrica.

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Fonte: Comvest/Vestibular Unicamp 2021. Prova oficial ↗