PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 71 da UNICAMP 2019

1ª fase · Matemática: Prismas e paralelepípedos

Considere um paralelepípedo retângulo, cujas arestas têm comprimento 6\text{ cm}, 8\text{ cm} e 10\text{ cm}, e um triângulo cujos vértices são os centros (intersecção das diagonais) de três faces de dimensões distintas, como ilustra a figura a seguir. O perímetro P desse triângulo é tal que

Representação em perspectiva de um paralelepípedo retângulo com arestas visíveis em traço contínuo e arestas ocultas em traço pontilhado. Em seu interior, há um triângulo sombreado em cinza cujos vértices são destacados por pontos pretos nos centros da face superior, da face frontal e da face lateral direita, interligados por lados tracejados.

  1. A
    P < 14\text{ cm}.
  2. B
    14\text{ cm} < P < 16\text{ cm}.
  3. C
    16\text{ cm} < P < 18\text{ cm}.
  4. D
    P > 18\text{ cm}.
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Resolução comentada

Coloque o paralelepípedo com arestas a=6, b=8, c=10 e o centro do sólido como referência. O centro de cada face fica a meia aresta do centro do sólido, na direção perpendicular à face.

Assim, os três centros de faces distintas ficam nos pontos (\pm 3,0,0), (0,\pm 4,0) e (0,0,\pm 5), tomando um de cada. Esses três pontos estão sobre eixos perpendiculares, então cada lado do triângulo é a hipotenusa de um triângulo retângulo cujos catetos são duas dessas meias-arestas.

  1. Lado entre os centros das faces de arestas 6\times 8 e 6\times 10: catetos 4 e 5, então \sqrt{16+25}=\sqrt{41}\approx 6{,}40.
  2. Lado entre os centros das faces 6\times 8 e 8\times 10: catetos 3 e 5, então \sqrt{9+25}=\sqrt{34}\approx 5{,}83.
  3. Lado entre os centros das faces 6\times 10 e 8\times 10: catetos 3 e 4, então \sqrt{9+16}=5.

Perímetro:

P=\sqrt{41}+\sqrt{34}+5\approx 6{,}40+5{,}83+5=17{,}23\ \text{cm}

Logo 16<P<18.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • ADá um valor muito pequeno; o perímetro real é cerca de 17,2 cm, não menor que 14 cm.
  • BSubestima os lados, por exemplo usando as arestas inteiras em vez das meias-arestas de modo errado; o valor correto passa de 16 cm.
  • DSuperestima o perímetro, como se usasse as arestas inteiras nos catetos; o valor real é menor que 18 cm.

Assuntos: Prismas e paralelepípedos, Teorema de Pitágoras e relações métricas.

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Fonte: Comvest/Vestibular Unicamp 2019. Prova oficial ↗