Questão 42 da UNICAMP 2014

A ideia é escrever tudo em função de \operatorname{sen} x. Lembre que \tg x = \dfrac{\operatorname{sen} x}{\cos x}, com \cos x \neq 0.

1. Substituindo na condição: \cos x = \dfrac{\operatorname{sen} x}{\cos x}.
2. Multiplicando por \cos x: \cos^2 x = \operatorname{sen} x.
3. Pela relação fundamental, \cos^2 x = 1 - \operatorname{sen}^2 x. Chamando s = \operatorname{sen} x: 1 - s^2 = s, ou seja, s^2 + s - 1 = 0.
4. Por Bhaskara:
   s = \frac{-1 \pm \sqrt{1+4}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}.
5. As raízes são \dfrac{\sqrt{5}-1}{2} \approx 0{,}62 e \dfrac{-1-\sqrt{5}}{2} \approx -1{,}62.

Como -1 \le \operatorname{sen} x \le 1, a segunda raiz é impossível, pois -1{,}62 < -1. Resta s = \dfrac{\sqrt{5}-1}{2}.

Conferência: \cos^2 x = s \approx 0{,}62 > 0, então existe x real com \cos x \neq 0, e a condição é satisfeita.

Alternativa C.

Por que as outras alternativas estão erradas

• AAparece \sqrt{3}, que não vem da equação s^2+s-1=0 (o discriminante é 5).
• BTambém usa \sqrt{3}, valor que não resolve a equação.
• D(1-\sqrt{5})/2 \approx -0{,}62 é a raiz da equação com o sinal trocado de s; não satisfaz s^2+s-1=0, pois daria \cos^2 x = s<0.

Assuntos: Equações e inequações trigonométricas, Identidades, adição de arcos e arco duplo.

Reportar erro na resolução

O que está errado?

Conta ou raciocínio errado Chega em outra resposta Explicação confusa Outro problema

Detalhes (opcional) Não preencha

Enviar Sem cadastro: não guardamos quem enviou.