PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 15 da UNICAMP 2012

1ª fase · Física: Astronomia e cosmologia

TEXTO PARA AS QUESTÕES 13, 14 E 15 · Q

Em setembro de 2010, Júpiter atingiu a menor distância da Terra em muitos anos. As figuras abaixo ilustram a situação de maior afastamento e a de maior aproximação dos planetas, considerando que suas órbitas são circulares, que o raio da órbita terrestre (R_{\text{T}}) mede 1{,}5 \times 10^{11}\text{ m} e que o raio da órbita de Júpiter (R_{\text{J}}) equivale a 7{,}5 \times 10^{11}\text{ m}.

Esquema representando a situação de maior afastamento, com órbitas circulares concêntricas em torno do Sol: Júpiter à esquerda na órbita maior com raio RJ, e a Terra à direita na órbita menor com raio RT.
Esquema representando a situação de maior aproximação, com órbitas circulares concêntricas em torno do Sol: Júpiter e Terra alinhados do mesmo lado, à esquerda do Sol.

Quando o segmento de reta que liga Júpiter ao Sol faz um ângulo de 120^\circ com o segmento de reta que liga a Terra ao Sol, a distância entre os dois planetas é de

Representação esquemática do Sol no centro com duas órbitas circulares pontilhadas ao redor. Na órbita interna está a Terra, a uma distância R_T do Sol, e na órbita externa está Júpiter, a uma distância R_J do Sol. Os dois raios traçados a partir do Sol formam entre si um ângulo de 120°.

  1. A
    \sqrt{R_{\text{J}}^2 + R_{\text{T}}^2 - R_{\text{J}}R_{\text{T}}\sqrt{3}} .
  2. B
    \sqrt{R_{\text{J}}^2 + R_{\text{T}}^2 + R_{\text{J}}R_{\text{T}}\sqrt{3}} .
  3. C
    \sqrt{R_{\text{J}}^2 + R_{\text{T}}^2 - R_{\text{J}}R_{\text{T}}} .
  4. D
    \sqrt{R_{\text{J}}^2 + R_{\text{T}}^2 + R_{\text{J}}R_{\text{T}}} .
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Resolução comentada

Os três pontos (Sol, Terra e Júpiter) formam um triângulo. Dois lados são conhecidos: R_{\text{T}} e R_{\text{J}}, e o ângulo entre eles, com vértice no Sol, é 120^\circ. A distância d entre os planetas é o lado oposto a esse ângulo.

Para esse caso usamos a lei dos cossenos: em um triângulo, o quadrado do lado oposto a um ângulo \theta é

d^2 = R_{\text{J}}^2 + R_{\text{T}}^2 - 2R_{\text{J}}R_{\text{T}}\cos\theta

Passo a passo:

  1. Ângulo: \theta = 120^\circ.
  2. Cosseno: \cos 120^\circ = -\cos 60^\circ = -\dfrac{1}{2}.
  3. Substituindo: d^2 = R_{\text{J}}^2 + R_{\text{T}}^2 - 2R_{\text{J}}R_{\text{T}}\left(-\dfrac{1}{2}\right).
  4. Simplificando: d^2 = R_{\text{J}}^2 + R_{\text{T}}^2 + R_{\text{J}}R_{\text{T}}.

Logo:

d = \sqrt{R_{\text{J}}^2 + R_{\text{T}}^2 + R_{\text{J}}R_{\text{T}}}

O sinal positivo vem do cosseno negativo do ângulo obtuso. Isso faz sentido: com 120^\circ a distância é maior que a obtida com 90^\circ (Pitágoras), em que d^2 = R_{\text{J}}^2 + R_{\text{T}}^2.

Alternativa D.

Pegadinha: A alternativa C engana quem usa \cos 60^\circ = 1/2 em vez de \cos 120^\circ = -1/2, esquecendo o sinal negativo do cosseno.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • Ausa \cos 120^\circ = +\sqrt{3}/2 com o sinal trocado e ainda esquece o fator 2, misturando o seno/cosseno de 30^\circ com o de 120^\circ.
  • Busa \sqrt{3}/2 como se fosse o cosseno de 120^\circ (que é o seno), errando o valor trigonométrico.
  • Cé o resultado para 60^\circ (cosseno +1/2); esquece que o cosseno de 120^\circ é negativo.

Assunto: Astronomia e cosmologia.

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Fonte: Comvest/Vestibular Unicamp 2012. Prova oficial ↗