PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 14 da UNICAMP 2012

1ª fase · Física: Leis de Kepler

TEXTO PARA AS QUESTÕES 13, 14 E 15 · Q

Em setembro de 2010, Júpiter atingiu a menor distância da Terra em muitos anos. As figuras abaixo ilustram a situação de maior afastamento e a de maior aproximação dos planetas, considerando que suas órbitas são circulares, que o raio da órbita terrestre (R_{\text{T}}) mede 1{,}5 \times 10^{11}\text{ m} e que o raio da órbita de Júpiter (R_{\text{J}}) equivale a 7{,}5 \times 10^{11}\text{ m}.

Esquema representando a situação de maior afastamento, com órbitas circulares concêntricas em torno do Sol: Júpiter à esquerda na órbita maior com raio RJ, e a Terra à direita na órbita menor com raio RT.
Esquema representando a situação de maior aproximação, com órbitas circulares concêntricas em torno do Sol: Júpiter e Terra alinhados do mesmo lado, à esquerda do Sol.

De acordo com a terceira lei de Kepler, o período de revolução e o raio da órbita desses planetas em torno do Sol obedecem à relação \left(\frac{T_J}{T_T}\right)^2 = \left(\frac{R_J}{R_T}\right)^3, em que T_J e T_T são os períodos de Júpiter e da Terra, respectivamente. Considerando as órbitas circulares representadas na figura, o valor de T_J em anos terrestres é mais próximo de

  1. A
    0,1.
  2. B
    5.
  3. C
    12.
  4. D
    125.
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Resolução comentada

A terceira lei de Kepler diz que o quadrado do período é proporcional ao cubo do raio da órbita. Por isso, basta comparar os raios das duas órbitas, sem usar os valores em metros.

  1. Razão entre os raios: \frac{R_J}{R_T} = \frac{7{,}5\times10^{11}}{1{,}5\times10^{11}} = 5.

  2. Aplicando a relação do enunciado: \left(\frac{T_J}{T_T}\right)^2 = 5^3 = 125.

  3. Tirando a raiz: \frac{T_J}{T_T} = \sqrt{125} \approx 11{,}2.

  4. Como T_T = 1 ano, T_J \approx 11{,}2 anos terrestres.

O valor mais próximo entre as opções é 12, que concorda com o período real de Júpiter, cerca de 11,9 anos.

Alternativa C.

Pegadinha: A alternativa D engana quem calcula 5^3 = 125 e esquece que esse valor é (T_J/T_T)^2, não T_J/T_T; a B engana quem iguala as razões de período e de raio.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AInverte a razão, usando R_T/R_J, o que daria um período menor que o da Terra.
  • BUsa a razão dos raios (5) diretamente como razão dos períodos, esquecendo o expoente 3/2.
  • DPara em 5^3=125 e esquece de tirar a raiz quadrada.

Assunto: Leis de Kepler.

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Fonte: Comvest/Vestibular Unicamp 2012. Prova oficial ↗