Questão 3 (2º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2025

2º dia · Matemática

Rayssa participou dos Jogos Olímpicos de Paris. Ela visitou quatro pontos turísticos da cidade: o Arco do Triunfo, a Catedral de Notre-Dame, o Museu do Louvre e a Torre Eiffel.

a) Rayssa escolheu a melhor foto que tirou de cada um desses pontos turísticos e publicará uma por dia em suas redes sociais, ao longo de quatro dias consecutivos, sem repetir nenhuma foto. De quantas maneiras ela pode fazer isso? Justifique.

b) Na figura abaixo, o Arco do Triunfo, a Catedral de Notre-Dame, o Museu do Louvre e a Torre Eiffel estão indicados pelos pontos A, N, L e E, respectivamente. Os segmentos de reta na figura representam ruas de Paris. As retas r,s são paralelas e os segmentos de reta AG e CF são paralelos entre si e perpendiculares a r e s.

Considere as distâncias AB = CN = 0{,}5, BL = 2{,}5, LC = 1, EF = 2{,}7 e BE = 1{,}7, dadas em quilômetros. Rayssa visitou os pontos turísticos na seguinte ordem: Arco do Triunfo, Torre Eiffel, Catedral de Notre-Dame e Museu do Louvre, percorrendo a menor distância possível, nas ruas indicadas na figura. Qual foi a distância que ela percorreu? Justifique.

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Resposta esperada

Resposta esperada pela FUVEST

a) Como são 4 fotos, ela tem 4 opções para postar no primeiro dia, 3 opções no segundo dia, 2 opções no terceiro dia e somente 1 opção no quarto dia. Portanto, pode fazer os posts de 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24 formas diferentes.

b) Existem essencialmente dois caminhos que passam somente uma vez por um mesmo “segmento”: os caminhos ABEFNCL e AGEFNCL.

O trecho ABE tem 0{,}5\text{ km} + 1{,}7\text{ km} = 2{,}2\text{ km}.

Não sabemos qual o comprimento do trecho AGE. Para calcular o comprimento do segmento AG, podemos fazer a construção seguinte:

Como \text{AB} = 0{,}5, \text{BL} = 2{,}5 e \text{LC} = 1, temos que \text{AC} = 4. Como \text{EF} = 2{,}7, segue-se que \text{GE} = 1{,}3. Seja B’ o ponto da reta r obtido traçando uma reta paralela ao segmento AG que passa por B. Então, como \text{GB'} = 0{,}5 (pois \text{AB} = 0{,}5), segue que \text{B'E} = 0{,}8, como na figura a seguir.

[Figura: Diagrama com duas retas transversais s e r, representando as avenidas com pontos turísticos de Paris. Na reta superior s estão os pontos A (Arco do Triunfo), B, L (Pirâmide do Louvre) e C; na reta inferior r estão os pontos G, B', E (Torre Eiffel) e F; entre as retas está o ponto N (Catedral de Notre-Dame). Há segmentos conectando A a G, B a B' (em linha tracejada, paralelo a AG), B a E (medindo 1,7), e C a F passando por N (com NC medindo 0,5). Indicam-se ainda as distâncias: GB' = 0,5; B'E = 0,8; EF = 2,7; e LC = 1,0.]

Usando o Teorema de Pitágoras no triângulo B’BE, podemos calcular a medida do cateto B’E, obtendo B'E = \sqrt{(1{,}7)^2 - (0{,}8)^2} = \sqrt{2{,}25} = 1{,}5. Logo, o segmento AG mede 1{,}5\text{ km}, e daí o trecho AGE mede 2{,}8\text{ km}.

Como a medida de FC é a mesma de AG, o caminho ABEFNCL mede 0{,}5 + 1{,}7 + 2{,}7 + 1{,}5 + 1 = 7{,}4\text{ km}, enquanto o caminho AGEFNCL mede 1{,}5 + 0{,}2 + 1{,}3 + 2{,}7 + 1{,}5 + 1{,}0 = 8{,}2.

Assim, o menor caminho é ABEFNCL, com 7{,}4\text{ km}.

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Questão 3 no caderno CB da 2ª fase da UNICAMP 2025

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