Questão 17 (2º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2018

2º dia · Matemática

Triângulo com vértices tendo ângulos internos , e , e lados opostos de medidas , (base) e , respectivamente.

a) Supondo que o triângulo seja isósceles, determine todos os valores possíveis para o ângulo \theta.

b) Prove que, se c = 2a, então \beta = 90^\circ.

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Resposta esperada

Resposta esperada pela FUVEST

a) A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180^ atural e, portanto, \theta + 2\theta + \beta = 3\theta + \beta = 180^\circ. Se o triângulo for isósceles, então \beta = \theta ou \beta = 2\theta. Assim, 4\theta = 180^\circ\text{ou } 5\theta = 180^\circ, ou seja, \theta = 45^\circ ou \theta = 36^\circ.

b) Pela Lei dos Senos, temos \frac{\sen \theta}{a} = \frac{\sen 2\theta}{b}. Considerando o fato de que \sen 2\theta = 2\sen \theta \cos \theta e c = 2a, temos \cos \theta = \frac{b}{c}. Aplicando a Lei dos Cossenos ao lado de comprimento a, a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \times \cos \theta, obtemos a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \times \frac{b}{c} = b^2 + c^2 - 2b^2 = c^2 - b^2, ou seja, c^2 = a^2 + b^2. Logo, o triângulo é retângulo com hipotenusa de comprimento c e, portanto, \beta = 90^\circ.

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Questão 17 no caderno da 2ª fase da UNICAMP 2018