Resposta esperada pela FUVEST
a) Efetuando o produto, B^T AB =
\begin{pmatrix} p & 0 & q \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & p \\ 1 & p & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p \\ 0 \\ q \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} p+q & qp & p+q \end{pmatrix} \begin{pmatrix} p \\ 0 \\ q \end{pmatrix} = (p+q)p + (p+q)q = (p+q)(p+q) = (p+q)^2.
Como p + q é um número real, (p + q)^2 \ge 0 . Portanto, B^T AB \ge 0 para quaisquer números reais p e q .
b) Para que esse sistema tenha infinitas soluções é necessário que a matriz A seja singular, ou seja, tenha determinante nulo. O determinante de A é dado por \det(A) = 1 \times 2 \times 1 + 0 \times p \times 1 + 1 \times p \times 1 - 1 \times 2 \times 1 - 0 \times 1 \times 1 - 1 \times p \times p = 2 + 0 + p - 2 - 0 - p^2 = p(p - 1) . Logo, devemos ter p = 0 ou p = 1 . Para p = 0 temos o sistema linear,
\begin{cases} x + z = 0, \\ x + 2y = 0, \\ x + z = q. \end{cases}
Observando a primeira e terceira linhas, para que esse sistema admita solução devemos ter q = 0 . Para p = 1 temos o sistema linear,
\begin{cases} x + z = 1, \\ x + 2y + z = 0, \\ x + y + z = q. \end{cases}
Da primeira linha, temos z = 1 - x . Substituindo essa relação na segunda e terceira linhas, obtemos as equações 2y + 1 = 0 e y + 1 = q . Para que essas equações sejam consistentes, devemos ter q = \frac{1}{2} . Concluindo, para que o sistema tenha infinitas soluções devemos ter p = q = 0 ou p = 1 e q = \frac{1}{2} .
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