Questão 14 (2º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2017

Question

Lótus é uma planta conhecida por uma característica muito interessante: apesar de crescer em regiões de lodo, suas folhas estão sempre secas e limpas. Isto decorre de sua propriedade hidrofóbica. Gotas de água na folha de lótus tomam forma aproximadamente esférica e se deslocam quase sem atrito até caírem da folha. Ao se moverem pela folha, as gotas de água capturam e carregam consigo a sujeira para fora da folha.

a) Quando uma gota de água cai sobre uma folha de lótus, ela quica como se fosse uma bola de borracha batendo no chão. Considere uma gota, inicialmente em repouso, caindo sobre uma folha de lótus plana e na horizontal, a partir de uma altura h_{\text{i}} = 50\text{ cm} acima da folha. Qual é o coeficiente de restituição da colisão se a gota sobe até uma altura de h_{\text{f}} = 2\text{ cm} após quicar a primeira vez na folha?

b) Considere uma gota de água com velocidade inicial v_{\text{i}} = 3\text{ mm/s} deslocando-se e limpando a superfície de uma folha de lótus plana e na horizontal. Antes de cair da folha, essa gota captura o lodo de uma área de 2\text{ cm}^2. Suponha que a densidade superficial média de lodo na folha é de 2{,}5\times 10^{-3}\text{ gramas/cm}^2. Estime a massa da gota de água e calcule sua velocidade no instante em que ela deixa a folha.

Answer 1

Questão 14 (2º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2017

2º dia · Física

Lótus é uma planta conhecida por uma característica muito interessante: apesar de crescer em regiões de lodo, suas folhas estão sempre secas e limpas. Isto decorre de sua propriedade hidrofóbica. Gotas de água na folha de lótus tomam forma aproximadamente esférica e se deslocam quase sem atrito até caírem da folha. Ao se moverem pela folha, as gotas de água capturam e carregam consigo a sujeira para fora da folha.

a) Quando uma gota de água cai sobre uma folha de lótus, ela quica como se fosse uma bola de borracha batendo no chão. Considere uma gota, inicialmente em repouso, caindo sobre uma folha de lótus plana e na horizontal, a partir de uma altura h_{\text{i}} = 50\text{ cm} acima da folha. Qual é o coeficiente de restituição da colisão se a gota sobe até uma altura de h_{\text{f}} = 2\text{ cm} após quicar a primeira vez na folha?

b) Considere uma gota de água com velocidade inicial v_{\text{i}} = 3\text{ mm/s} deslocando-se e limpando a superfície de uma folha de lótus plana e na horizontal. Antes de cair da folha, essa gota captura o lodo de uma área de 2\text{ cm}^2. Suponha que a densidade superficial média de lodo na folha é de 2{,}5\times 10^{-3}\text{ gramas/cm}^2. Estime a massa da gota de água e calcule sua velocidade no instante em que ela deixa a folha.

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Resolução comentada

a) Na queda, a gota parte do repouso e perde a energia potencial que ganha em velocidade: v_i=\sqrt{2gh_i}. Depois do choque, ela sobe até h_f, então v_f=\sqrt{2gh_f}.

O coeficiente de restituição é a razão entre as velocidades de afastamento e de aproximação:

e=\frac{v_f}{v_i}=\sqrt{\frac{h_f}{h_i}}=\sqrt{\frac{2}{50}}=\sqrt{0{,}04}=0{,}2

e = 0{,}2

b) Massa da gota (estimativa). Uma gota esférica sobre a folha tem raio da ordem de 2\ \text{mm}=0{,}2\ \text{cm}. Com densidade 1\ \text{g/cm}^3:

m_{\text{gota}}=\rho\,\frac{4}{3}\pi r^3\approx 1\cdot\frac{4}{3}\cdot 3\cdot(0{,}2)^3\approx 3\times10^{-2}\ \text{g}

Massa de lodo capturada:

m_{\text{lodo}}=2{,}5\times10^{-3}\ \text{g/cm}^2\cdot 2\ \text{cm}^2=5\times10^{-3}\ \text{g}

Velocidade final. Como a gota se desloca quase sem atrito na horizontal, não há força externa horizontal. A quantidade de movimento horizontal se conserva, e o lodo, inicialmente parado, passa a se mover junto com a gota (colisão perfeitamente inelástica):

m_{\text{gota}}\,v_i=(m_{\text{gota}}+m_{\text{lodo}})\,v_f

v_f=\frac{0{,}030}{0{,}035}\cdot 3\ \text{mm/s}\approx 2{,}6\ \text{mm/s}

O valor exato depende do raio estimado, mas fica próximo de 2{,}6\ \text{mm/s}, ou seja, uma redução pequena da velocidade.

Massa da gota \approx 3\times10^{-2}\ \text{g} e v_f\approx 2{,}6\ \text{mm/s}

Assuntos: colisões e coeficiente de restituição, conservação da quantidade de movimento.

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Questão 14 no caderno da 2ª fase da UNICAMP 2017