Questão 15 (2º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2017

2º dia · Física

Os brinquedos de parques de diversões utilizam-se de princípios da Mecânica para criar movimentos aos quais não estamos habituados, gerando novas sensações. Por isso um parque de diversões é um ótimo local para ilustrar princípios básicos da Mecânica.

a) Considere uma montanha russa em que um carrinho desce por uma rampa de altura H = 5\ \text{m} e, ao final da rampa, passa por um trecho circular de raio R = 2\ \text{m}, conforme mostra a figura a) abaixo. Calcule o módulo da aceleração no ponto mais baixo do circuito, considerando que o carrinho partiu do repouso.

b) Outro brinquedo comum em parques de diversões é o chapéu mexicano, em que cadeiras são penduradas com correntes na borda de uma estrutura circular que gira com seu eixo de rotação perpendicular ao solo. Considere um chapéu mexicano com estrutura circular de raio R = 6{,}3\ \text{m} e correntes de comprimento L = 2\ \text{m}. Ao girar, as cadeiras se elevam 40\ \text{cm}, afastando-se 1{,}2\ \text{m} do eixo de rotação, conforme mostra a figura b) abaixo. Calcule a velocidade angular de rotação do brinquedo.

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a) Sem atrito, a energia mecânica se conserva entre o topo da rampa (repouso, altura H) e o ponto mais baixo do circuito (altura zero). Com g = 10\ \text{m/s}^2:

mgH = \frac{mv^2}{2} \Rightarrow v^2 = 2gH = 2\cdot 10\cdot 5 = 100\ \text{m}^2/\text{s}^2

No ponto mais baixo, as únicas forças são o peso e a normal, ambas verticais. Não há força tangencial, então a aceleração tangencial é nula e só resta a centrípeta:

a = \frac{v^2}{R} = \frac{100}{2} = 50\ \text{m/s}^2

a = 50\ \text{m/s}^2

b) A cadeira descreve uma circunferência horizontal. A corrente forma um ângulo \theta com a vertical.

  1. Como a cadeira sobe 0{,}4\ \text{m}, a projeção vertical da corrente é 2 - 0{,}4 = 1{,}6\ \text{m}, e \cos\theta = 1{,}6/2 = 0{,}8. Logo \sen\theta = 0{,}6 e \tg\theta = 0{,}75.
  2. O afastamento horizontal da cadeira em relação à posição de repouso é L\sen\theta = 1{,}2\ \text{m}, o que confere com o enunciado. Assim, o raio da trajetória da cadeira é r = 6{,}3 + 1{,}2 = 7{,}5\ \text{m}.
  3. Forças sobre a cadeira: peso mg e tração T na corrente. Na vertical, T\cos\theta = mg. Na horizontal, a componente T\sen\theta é a resultante centrípeta, T\sen\theta = m\omega^2 r.

Dividindo as duas equações:

\tg\theta = \frac{\omega^2 r}{g} \Rightarrow \omega^2 = \frac{g\,\tg\theta}{r} = \frac{10\cdot 0{,}75}{7{,}5} = 1
\omega = 1\ \text{rad/s}

\omega = 1\ \text{rad/s}

Assuntos: conservação da energia mecânica, movimento circular e força centrípeta.

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