Questão 13 (2º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2017

Question

O uso do sistema de localização GPS (Global Positioning System) cresceu bastante nos últimos tempos devido principalmente à existência do sensor GPS na maioria dos celulares disponíveis no mercado. Nesses celulares, o sinal de GPS tem sido usado para localização do aparelho em mapas, para obter sugestões de rotas e até em jogos. Considere que os satélites responsáveis por enviar o sinal GPS encontram-se a aproximadamente R_{\text{GPS}}=27.000\text{ km} do centro da Terra, seu período de rotação em torno do centro da Terra é T_{\text{GPS}} = 12\text{ horas} e sua órbita é circular.

a) Qual é a velocidade escalar média de um satélite do sistema GPS?

b) Os satélites de GPS enviam continuamente as três coordenadas que determinam sua posição atual e o horário do envio da mensagem. Com as informações de 4 satélites, o receptor pode determinar a sua posição e o horário local. Para garantir a precisão dessas informações, efeitos relativísticos são considerados na determinação do horário enviado pelos satélites. Os relógios localizados nos satélites são afetados principalmente por efeitos da relatividade restrita, que atrasam os relógios, e da relatividade geral, que adiantam os relógios, conforme mostra a figura abaixo. Qual é a distância do centro da Terra R e o período T da órbita em que os efeitos da relatividade geral e da relatividade restrita se cancelam, ou seja, quando a soma dos dois efeitos é zero?

Answer 1

Questão 13 (2º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2017

2º dia · Física

O uso do sistema de localização GPS (Global Positioning System) cresceu bastante nos últimos tempos devido principalmente à existência do sensor GPS na maioria dos celulares disponíveis no mercado. Nesses celulares, o sinal de GPS tem sido usado para localização do aparelho em mapas, para obter sugestões de rotas e até em jogos. Considere que os satélites responsáveis por enviar o sinal GPS encontram-se a aproximadamente R_{\text{GPS}}=27.000\text{ km} do centro da Terra, seu período de rotação em torno do centro da Terra é T_{\text{GPS}} = 12\text{ horas} e sua órbita é circular.

a) Qual é a velocidade escalar média de um satélite do sistema GPS?

b) Os satélites de GPS enviam continuamente as três coordenadas que determinam sua posição atual e o horário do envio da mensagem. Com as informações de 4 satélites, o receptor pode determinar a sua posição e o horário local. Para garantir a precisão dessas informações, efeitos relativísticos são considerados na determinação do horário enviado pelos satélites. Os relógios localizados nos satélites são afetados principalmente por efeitos da relatividade restrita, que atrasam os relógios, e da relatividade geral, que adiantam os relógios, conforme mostra a figura abaixo. Qual é a distância do centro da Terra R e o período T da órbita em que os efeitos da relatividade geral e da relatividade restrita se cancelam, ou seja, quando a soma dos dois efeitos é zero?

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Resolução comentada

a)

O satélite faz uma órbita circular, então em um período T ele percorre uma circunferência de comprimento 2\pi R. A velocidade escalar média é:

v = \frac{2\pi R_{\text{GPS}}}{T_{\text{GPS}}}

Adotando \pi \approx 3, com R_{\text{GPS}} = 27.000\ \text{km} e T_{\text{GPS}} = 12\ \text{h}:

v = \frac{6 \times 27.000}{12} = 13.500\ \text{km/h}

v \approx 1{,}35\times 10^4\ \text{km/h} (cerca de 3{,}75\ \text{km/s})

b)

No gráfico, o efeito da relatividade restrita atrasa o relógio e o da relatividade geral o adianta. A soma é zero onde as duas curvas têm o mesmo módulo, ou seja, onde se cruzam. Esse cruzamento ocorre em

R = 9\times 10^{6}\ \text{m} = 9.000\ \text{km}.

Para achar o período nessa órbita, use a 3ª lei de Kepler. Para satélites que orbitam o mesmo corpo, R^3/T^2 é constante. Comparando com a órbita do GPS:

\frac{R^3}{T^2} = \frac{R_{\text{GPS}}^3}{T_{\text{GPS}}^2} \Rightarrow \frac{9^3}{T^2} = \frac{27^3}{12^2}

T^2 = 12^2\left(\frac{9}{27}\right)^3 = \frac{144}{27} \Rightarrow T = \frac{12}{3\sqrt{3}} = \frac{12}{5{,}2} \approx 2{,}3\ \text{h}

R = 9\times 10^{6}\ \text{m} e T \approx 2{,}3\ \text{h}

Assuntos: movimento circular uniforme, terceira lei de Kepler, relatividade.

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