Questão 1 (3º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2015

Question

O Código de Trânsito Brasileiro classifica as infrações, de acordo com a sua natureza, em leves, médias, graves e gravíssimas. A cada tipo corresponde uma pontuação e uma multa em reais, conforme a tabela abaixo.

Infração	Pontuação	Multa*
Leve	3 pontos	R$ 53,00
Média	4 pontos	R$ 86,00
Grave	5 pontos	R$ 128,00
Gravíssima	7 pontos	R$ 192,00

Valores arredondados

a) Um condutor acumulou 13 pontos em infrações. Determine todas as possibilidades quanto à quantidade e à natureza das infrações cometidas por esse condutor.

b) O gráfico de barras abaixo exibe a distribuição de 1.000 infrações cometidas em certa cidade, conforme a sua natureza. Determine a soma das multas aplicadas.

Gráfico de barras verticais exibindo a distribuição percentual de infrações de acordo com a natureza: Leve (10%), Média (40%), Grave (20%) e Gravíssima (30%).

Answer 1

Questão 1 (3º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2015

3º dia · Matemática

O Código de Trânsito Brasileiro classifica as infrações, de acordo com a sua natureza, em leves, médias, graves e gravíssimas. A cada tipo corresponde uma pontuação e uma multa em reais, conforme a tabela abaixo.

Infração	Pontuação	Multa*
Leve	3 pontos	R$ 53,00
Média	4 pontos	R$ 86,00
Grave	5 pontos	R$ 128,00
Gravíssima	7 pontos	R$ 192,00

Valores arredondados

a) Um condutor acumulou 13 pontos em infrações. Determine todas as possibilidades quanto à quantidade e à natureza das infrações cometidas por esse condutor.

b) O gráfico de barras abaixo exibe a distribuição de 1.000 infrações cometidas em certa cidade, conforme a sua natureza. Determine a soma das multas aplicadas.

Gráfico de barras verticais exibindo a distribuição percentual de infrações de acordo com a natureza: Leve (10%), Média (40%), Grave (20%) e Gravíssima (30%).

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Resolução comentada

Resposta esperada pela Comvest

a)
Sejam l, m, g e v as quantidades de infrações leves, médias, graves e gravíssimas, respectivamente. Assim, devemos ter que 3l + 4m + 5g + 7v = 13. Claramente, v = 1 ou v = 0. Se v = 1, então 3l + 4m + 5g = 6, cuja única solução é l = 2, m = 0 e g = 0. Se v = 0, então 3l + 4m + 5g = 13 e, portanto, g = 2 ou g = 1 ou g = 0. Se g = 2 então, 3l + 4m = 3, cuja única solução é l = 1 e m = 0. Se g = 1, então 3l + 4m = 8, cuja única solução é l = 0 e m = 2. Finalmente, se g = 0 , então 3l + 4m = 13, cuja única solução é l = 3 e m = 1. Concluindo, as possíveis soluções para as quantidades de infrações (l, m, g, v) são (2,0,0,1), (1,0,2,0), (0,2,1,0) e (3,1,0,0).

b)
Em 1.000 infrações, a soma das multas aplicadas é dada por 1.000 \times \left(\frac{10}{100} \times 53 + \frac{40}{100} \times 86 + \frac{20}{100} \times 128 + \frac{30}{100} \times 192\right) = 100 \times (53 + 4 \times 86 + 2 \times 128 + 3 \times 192) = 122.900. Portanto, é uma soma de R$ 122.900,00.

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Publicada pela banca.

Resolução comentada

a) Sejam l, m, g e v as quantidades de infrações leves, médias, graves e gravíssimas. Elas são inteiros não negativos e devem satisfazer

3l+4m+5g+7v=13.

Como 7\cdot 2=14>13, só pode haver v=0 ou v=1.

Caso v=1: sobra 3l+4m+5g=6.

Com g=0: 3l+4m=6 dá l=2, m=0.
Com g=1: sobra 1, que é impossível.

Caso v=0: 3l+4m+5g=13.

g=0: 3l+4m=13 dá l=3, m=1. Os outros valores de m (0, 2, 3) não dão l inteiro.
g=1: 3l+4m=8 dá l=0, m=2.
g=2: 3l+4m=3 dá l=1, m=0.

Conferindo: 9+4=13, 8+5=13, 3+10=13 e 6+7=13.

Há, portanto, 4 possibilidades:

3 leves e 1 média;
2 médias e 1 grave;
1 leve e 2 graves;
2 leves e 1 gravíssima.

São 4 possibilidades: (3 leves + 1 média), (2 médias + 1 grave), (1 leve + 2 graves) e (2 leves + 1 gravíssima).

b) Aplique os percentuais do gráfico às 1.000 infrações:

leves: 10\% de 1000 = 100;
médias: 40\% de 1000 = 400;
graves: 20\% de 1000 = 200;
gravíssimas: 30\% de 1000 = 300.

Multiplicando cada quantidade pela multa correspondente:

100\cdot 53 + 400\cdot 86 + 200\cdot 128 + 300\cdot 192

= 5300 + 34400 + 25600 + 57600 = 122900.

A soma das multas é R$ 122.900,00.

Assuntos: equações diofantinas, porcentagem, leitura de gráficos.

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