Questão 2 (3º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2015
Seja a um número real positivo e considere as funções afins f(x) = ax + 3a e g(x) = 9 - 2x, definidas para todo número real x.
a) Encontre o número de soluções inteiras da inequação f(x)g(x) > 0.
b) Encontre o valor de a tal que f(g(x)) = g(f(x)) para todo número real x.
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a) Como a>0, podemos escrever f(x)=a(x+3). O sinal de f(x)g(x) é então o sinal de (x+3)(9-2x), pois a é positivo e não altera o sinal.
Esse produto é uma parábola com concavidade para baixo (o coeficiente de x^2 é -2), com raízes x=-3 e x=\frac{9}{2}. Ela é positiva entre as raízes:
Os inteiros nesse intervalo são -2,-1,0,1,2,3,4 (os extremos -3 e 4{,}5 não entram, porque a desigualdade é estrita). São 7 valores.
7 soluções inteiras.
b) Calculamos as duas compostas.
- f(g(x))=a(9-2x)+3a=12a-2ax.
- g(f(x))=9-2(ax+3a)=9-6a-2ax.
Para que sejam iguais para todo x, os termos em x já coincidem (-2ax nos dois lados). Basta igualar os termos constantes:
Conferindo: com a=\frac12, f(g(x))=6-x e g(f(x))=9-x-3=6-x.
a=\dfrac{1}{2}
Assuntos: inequação produto, funções afins, composição de funções.
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