Questão 19 (1º dia) da 2ª fase da UNICAMP 2012

1º dia · Matemática

Um supermercado vende dois tipos de cebola, conforme se descreve na tabela abaixo:

Tipo de cebola	Peso unitário aproximado (g)	Raio médio (cm)
Pequena	25	2
Grande	200	4

a) Uma consumidora selecionou cebolas pequenas e grandes, somando 40 unidades, que pesaram 1700 g. Formule um sistema linear que permita encontrar a quantidade de cebolas de cada tipo escolhidas pela consumidora e resolva-o para determinar esses valores.

b) Geralmente, as cebolas são consumidas sem casca. Determine a área de casca correspondente a 600 g de cebolas pequenas, supondo que elas sejam esféricas. Sabendo que 600 g de cebolas grandes possuem 192\boldsymbol{\pi}\ \text{cm}^2 de área de casca, indique que tipo de cebola fornece o menor desperdício com cascas.

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Resposta esperada

Resposta esperada pela FUVEST

a) O sistema linear deve ter duas equações, uma associada ao número e a outra ao peso das cebolas selecionadas pela consumidora. Assim, temos

\begin{matrix} x & + & y & = & 40 \\ 25x & + & 200y & = & 1700 \end{matrix}

Isolando x na primeira equação, obtemos x = 40 - y. Substituindo esse valor na segunda equação, concluímos que 25(40 - y) + 200y = 1700, ou 175y = 700, ou ainda y = 700/175 = 4. Logo, x = 40 - y = 36.

Resposta: Resolvendo o sistema acima, concluímos que a consumidora selecionou 36 cebolas pequenas e 4 cebolas grandes.

b) A casca de uma cebola pequena tem área igual a 4\pi r^2 = 4\pi 2^2 = 16\pi\text{ cm}^2. Como 600 g de cebolas pequenas correspondem a 600/25 = 24 cebolas, a área total de casca equivale a 24 \cdot 16\pi = 384\pi\text{ cm}^2.

Como a área de casca de 600 g de cebolas grandes é igual a 192\pi\text{ cm}^2, as cebolas grandes fornecem o menor desperdício com cascas.

Resposta: O desperdício com cascas é menor para as cebolas grandes.

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Questão 19 no caderno da 2ª fase da UNICAMP 2012