PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 7 da UFPR 2024

1ª fase

A circunferência C na figura ao lado está centrada no ponto A = (1, 1) e tangencia os eixos coordenados. A reta r passa pela origem O e pelo ponto A, intersectando a circunferência no ponto P, conforme indica a figura. A reta s é tangente à circunferência no ponto P e intersecta o eixo x no ponto Q. Assinale a alternativa que corresponde à abcissa do ponto Q.

Circunferência C no plano cartesiano centrada no ponto A e tangente aos eixos, reta r passando pela origem O, ponto A e ponto P da circunferência, e reta s tangente à circunferência em P intersectando o eixo x no ponto Q.

  1. A
    2\sqrt{2}
  2. B
    3\sqrt{2} - 1
  3. C
    1 + 2\sqrt{2}
  4. D
    4\sqrt{2} - 2
  5. E
    2 + \sqrt{2}
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Resolução comentada

A circunferência tem centro A=(1,1) e tangencia os eixos, então o raio é 1.

A reta r passa por O e A, logo é y=x. O ponto P é o da circunferência mais afastado da origem, na direção de r.

  1. A distância de O a A é \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}.
  2. Então OP = \sqrt{2}+1, pois P fica a um raio de A, além de A.
  3. P está sobre y=x, então P=(a,a) com a\sqrt{2}=\sqrt{2}+1, ou seja, a=1+\dfrac{\sqrt{2}}{2}.

A reta s é tangente em P, logo é perpendicular ao raio AP, isto é, perpendicular a r. Como r tem coeficiente angular 1, s tem coeficiente angular -1:

y-a=-(x-a)\ \Rightarrow\ y=-x+2a.

Q está no eixo x (y=0), então x=2a:

x_Q=2a=2+\sqrt{2}.

Conferindo pela figura: o triângulo OPQ é retângulo em P e isósceles (ângulo de 45^\circ em O), com OP=\sqrt{2}+1 e hipotenusa OQ=OP\sqrt{2}=2+\sqrt{2}. Confere.

Alternativa E.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • AUsaria OQ=2\sqrt{2}, que corresponde a tomar OP=2, esquecendo que OA=\sqrt{2} e não 1.
  • BResultado sem base geométrica, que não decorre de OQ=OP\sqrt{2} com OP=\sqrt{2}+1.
  • CMistura a abscissa de A com 2\sqrt{2}, sem relação com OQ.
  • DDobra o valor errado de OP, chegando a 4\sqrt{2}-2, que não vem da geometria.

Assuntos: geometria analítica, reta tangente à circunferência, circunferência.

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Fonte: UFPR 2024 · 1ª fase. Prova oficial ↗