PRÁTICA COM QUESTÕES OFICIAIS

Questão 6 da UFPR 2024

1ª fase

Considere a função f(x) = -x^2 + 6x - 8. No plano cartesiano, sejam P e Q as intersecções do gráfico de f com o eixo x. Sendo R = (a, b) um ponto do gráfico de f, com b > 0, assinale a alternativa que corresponde ao maior valor numérico possível da área do triângulo PQR.

  1. A
    1
  2. B
    2
  3. C
    3
  4. D
    4
  5. E
    6
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Resolução comentada

Raízes (pontos P e Q): fazemos f(x)=0, isto é, -x^2+6x-8=0, ou x^2-6x+8=0. Soma 6 e produto 8: as raízes são x=2 e x=4. Logo P=(2,0) e Q=(4,0), e a base do triângulo é PQ = 4-2 = 2.

Altura: o ponto R=(a,b) está no gráfico, com b>0. A altura do triângulo em relação à base PQ, que está sobre o eixo x, é a distância de R ao eixo, ou seja, b.

Área:

A=\frac{\text{base}\cdot\text{altura}}{2}=\frac{2\cdot b}{2}=b

A área é igual a b. Ela é máxima quando b é máximo, e isso acontece no vértice da parábola (a parábola é voltada para baixo, pois o coeficiente de x^2 é negativo).

Vértice: x_v=\dfrac{-6}{2\cdot(-1)}=3, e

f(3)=-9+18-8=1

Portanto b_{\max}=1 e a área máxima é 1.

Alternativa A.

Por que as outras alternativas estão erradas

  • BEsquece de dividir por 2 na área, usando base × altura = 2·1.
  • CNão corresponde a nenhum valor da função; vem de confundir o vértice ou o cálculo da altura.
  • DUsa como base a distância entre as raízes de outra forma ou confunde com o termo independente (-8) e o 4 da raiz, sem relação com a altura máxima.
  • EUsa o coeficiente 6 (ou a soma das raízes) como se fosse a área, sem calcular o valor máximo de f.

Assuntos: função quadrática, área de triângulo, vértice da parábola.

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Fonte: UFPR 2024 · 1ª fase. Prova oficial ↗